Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade são regras simples que permitem verificar se determinado número inteiro A é múltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades da sua representação decimal.

Um número inteiro A é divisível por um inteiro B (diferente de 0) se, e somente se, existir um k inteiro tal que:

A = kB

A seguir estão apresentados critérios de divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 1 até 12, representados em sua forma decimal. Outros números naturais maiores que 12 também têm regras de divisibilidade, mas em geral pouco práticas.

Divisibilidade por 1

Todo número é divisível por 1.

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Todos os numeros que são pares sao divisíveis por dois basta terminarem em 0, 2, 4, 6 ou 8. Ex: 102,1760 e infinitamente...

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é múltiplo de 3.

• 121: 1+2+1=4, que não é múltiplo de 3;Não
• 546: 5+4+6=15 → 1+5=6, múltiplo de 3;Sim

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por quatro quando o penúltimo algarismo for ímpar e o último for 2 ou 6, ou quando o penúltimo algarismo for par e o último for 0, 4 ou 8.

• 960 → 6 é par e o último número é 0 Sim
• 8932438947189436 → 3 é ímpar e o último número é 6 Sim
• 587000 → os dois últimos algarismos são 0 Sim
• 789234654 → 5 é ímpar e o último número não é 2 nem 6 Não

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando o último algarismo for 0 ou 5.

• 125
• 150000000000
• 814741398590138590538565455

Divisibilidade por 6

São múltiplos de 6 todos os números pares cuja soma dos algarismo seja divisível por 3 ( ou seja, todo número divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo).

• 54 → é par; 5+4=9 (divisível por 3) Sim
• 1350 → é par; 1+3+5+0=9 (divisível por 3) Sim
• 174696 → é par; 1+7+4+6+9=27 (divisível por 3) Sim

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7.

• 245 → 5x2=10; 24-10=14 Sim

Divisibilidade por 8

São divisíveis por 8 todos os números cujo antepenúltimo algarismo seja par e os dois últimos formem um múltiplo de 8 (isto é: 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96). Também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja também múltiplo de 8 (isto é: 04, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84 ou 92).

• 10840 → 8 é par e 40 é múltiplo de 8 Sim
• 15000 → 000 Sim
• 49736 → 7 é ímpar e 36 é múltiplo de 4, mas não de 8 Sim

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

• 72 → 7 + 2 = 9Sim
• 1494 → 1 + 4 + 9 + 4 = 18 → 1 + 8 = 9Sim
• 581472 → 5 + 8 + 1 + 4 + 7 + 2 = 27 → 2 + 7 = 9Sim

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

• 50
• 15340
• 5050

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 caso a diferença entre o último algarismo (o algarismo da unidade) e o nº formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um nº com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como a regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplos de 11.

• 286 → 28 - 6 = 22 → 22 (por ser uma dezena dupla) é multiplo de 11
• 1331 → 133 - 1 = 132 → 13 - 2 = 11
• 14641 → 1464 - 1 = 1463 → 146 - 3 = 143 → 14 - 3 = 11
• 24350 → 2435 - 0 = 2435 → 243 - 5 = 238 → 23 - 8 = 15 → não é múltiplo de 11

Temos ainda outro método: Soma-se o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo; se a diferença da soma do 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo; for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11

• 94186565 → 9 + 1 + 6 + 6 = 22 → 4 + 8 + 5 + 5 = 22 → 22 - 22 = 0 Sim
• 56568143 → 5 + 5 + 8 + 4 = 22 → 6 + 6 + 1 + 3 = 16 → 22 - 16 = 6 Não

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 caso também seja divisível por 3 e por 4.

• 756 = 756:3 = 252; 756:4 = 189; 756:12 = 63
• 672 = 6+7+2=15; 15:3 = 5; 7 é ímpar e 2 é o último número; 672:12 = 56

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quanto o quíntuplo do ultimo algarismo, subtraído do número que não contem este último algarismo, tiver como resultado um número que é dividido por 17. Caso o número obtido ainda for grande, o processo é repetido, até que a divisão de o resultado 17. Em resumo: Tira-se o último algarismo e multiplica por 5 e subtrai do restante do número sem o respectivo número que foi multiplicado.

• 19074 → 4 x 5 = 20 → 1907 - 20 = 1887 → 7 x 5 = 35 → 188 - 35 = 153 → 3 x 5 = 15 → 15 - 15 = 0 Sim
• 221 → 1 x 5 = 5 → 22 - 5 = 17 Sim
• 238 → 8 x 5 = 40 → 23 - 40 = -17 Sim

Outros critérios de divisibilidade

Potências de 2

Um número é divisível por $2^{N}$ quando seus últimos N algarismos forem 0 ou divisiveis por $2^{N}$. Alguns exemplos:

• Divisibilidade por 16: ($2^{4}$) quando os últimos quatro algarismos forem 0 ou divisíveis por 16;
• Divisibilidade por 32: ($2^{5}$) quando os últimos cinco algarismos forem 0 ou divisíveis por 32;
• Divisibilidade por 64: ($2^{6}$) quando os últimos seis algarismos forem 0 ou divisíveis por 643.

Números compostos com fatores não-múltiplos entre si

Um número será divisível por outro número nessas condições caso seja divisível também por cada um dos fatores que o compõem. Alguns exemplos:

• Divisibilidade por 14: quando é divisível por 7 e por 2 (7 x 2 = 14);
• Divisibilidade por 15: quando é divisível por 3 e por 5 (3 x 5 = 15);
• Divisibilidade por 24: quando é divisível por 3 e por 8 (3 x 8 = 24);
• Divisibilidade por 35: quando é divisível por 7 e por 5 (7 x 5 = 35);
• Divisibilidade por 50: quando é divisível por 5 e por 10 (5 x 10 = 50).

Entretanto, a regra não pode ser aplicada para números compostos de fatores múltiplos um do outro, como 16 (8 x 2) uma vez que todo múltiplo de 8 também é múltiplo de 2.

Ligações externas

• Critérios de divisibilidade
• Critérios de Divisibilidade - até 15