Deformação transversal
Equação de deformação unitária[editar | editar código-fonte]
Para um prisma mecânico de seção constante A, a deformação unitário é uma função definida sobre esta seção transversal, que é solução do seguinte problema de Von Neumann:
- [1]
- Onde:
- é o comprimento ao longo do contorno da peça e a normal exterior ao mesmo.
- são as coordenadas do centro de cortante.
O equilíbrio de forças sobre o eixo longitudinal da peça prismática ou viga requer que:
Onde se tenha substituído as equações [3] em [4] se chega precisamente a equação da deformação unitária [1].
Solução para a equação de deformação unitária[editar | editar código-fonte]
Pode se demonstrar que a solução da anterior equação pode ser encontrada facilmente introduzindo uma função de deformação auxiliar relacionada com a anterior e com as coordenadas (yC, zC) do centro de cortante. A função auxiliar satisfaz a equação:[1]
Em termos desta função auxiliar se pode encontrar tanto a função de deformação como as coordenadas do centro de cortante:[1]
Onde são os momentos de área e o produto de inércia. E onde são os produtos de inércia setoriais definidos como:
Exemplos de deformações seccionais[editar | editar código-fonte]
Em geral se uma seção não é circular ou circular oca (tubular) apresentará deformação seccional diferente de zero. Isto pode provar-se rigorosamente calculando a deformação seccional de uma seção elíptica, que depende da diferença de quadrados dos comprimentos dos semi-eixos, se estes são iguais como ocorrem em um círculo a função de deformação se anula.
No caso geral a seção de deformação é complicada e requer resolver um problema de Von Neumann. Para alguns casos simples quando a seção é maciça e o contorno é expresso por uma função de tipo f(y, z) = 0 sendo o laplaciano de f constante o problema de buscar a função de deformação pode simplificar-se notavelmente mediante a função de Prandtl, já que desta função basta encontrar-se uma função de Prandtl que se anule sobre o contorno. Isto é precisamente o que ocorre com as seções elíptica e triangular, entretanto com seções mais complexas como uma seção retangular o cálculo é mais complicado.
Deformação unitária de uma seção triangular[editar | editar código-fonte]
Em uma seção triangular equilátera qualquer das três alturas do triângulo constitui um eixo de simetria, pelo que para uma seção triangular equilátera o centro de cortante coincide com o centro geométrico ou baricentro do triângulo. A função de deformação considerando coordenadas (y, z) com a origem de coordenadas sobre o centro geométrico é dada por:[2]
Onde temos considerado que um dos lados é paralelo ao eixo Y, y h é a altura do triângulo.
Deformação unitário de uma seção elíptica[editar | editar código-fonte]
Em uma seção elíptica existem dois eixos de simetria, o semi-eixo maior e o semi-eixo menor, o que implica que o centro de cortante coincide com o centro geométrico da seção. Tomando coordenadas da seção (y, z) com origem no centro geométrico da seção a função de deformação unitário é dada por:[3]
Onde a e b são, respectivamente, os comprimentos do semi-eixo maior e o semi-eixo menor da elipse. Pode se ver que no caso particular de um círculo de raio r (onde a = b = r) a deformação seccional unitária é nula, em consonância com a teoria da torsão de Saint-Venant para seções circulares.
Deformação unitária de uma seção retangular[editar | editar código-fonte]
Em uma seção retangular, onde o centro de cortante coincide com o centro geométrico, a função de deformação pode ser calculada em termos da função de Prandtl[4] que por sua vez ppde ser obtida por integração de Laplace mediante separação de variáveis:
Momento de deformação[editar | editar código-fonte]
O momento de deformação é a grandeza definida pela seguinte integral:[5]
Para uma seção I ou H o módulo de deformação é dado por:[6]
Onde h denota a altura total do perfil e Imin o momento de inércia mínimo.
Referências[editar | editar código-fonte]
- ↑ a b Monleón Cremades, 1999, apéndice B, p.
- ↑ Ortiz Berrocal, 1988, p. 296.
- ↑ Ortiz Berrocal, 1998, p. 292.
- ↑ Ortiz Berrocal, 1998, p. 296-300.
- ↑ Monleón, 1999, p.
- ↑ Load Tables for Flexural Members and Connections[ligação inativa]
Bibliografia[editar | editar código-fonte]
- Ortiz Berrocal, L., Elasticidad, McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.
- Monleón Cremades, S., Análisis de vigas, arcos, placas y láminas, Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.
Ligações externas[editar | editar código-fonte]
- Análise de torção - Wolfram Applications (em inglês)