Teorema dos ângulos externos

O teorema dos ângulos externos de um triângulo é um teorema de geometria que diz que os ângulos externos de um triângulo são iguais à soma dos dois ângulos opostos internos.

Um triângulo tem três quinas, chamadas vértices. Os lados de um triângulo que se unem em um vértice formam um ângulo. Este ângulo é chamado de ângulo interno. Na figura abaixo, os ângulos a, b e c são os três ângulos internos do triângulo. Um ângulo externo é formado pela extensão de um dos lados do triângulo; o ângulo formado entre o lado estendido e o lado oposto é o ângulo externo. Na figura, o ângulo d é o ângulo externo.

O teorema dos ângulos externos diz que a medida de um ângulo externo no vértice de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos nos dois vértices opostos do triângulo. Assim, na figura, a medida do ângulo d é igual à soma das medidas dos ângulos a e c.

Dado: No ∆ABC, o ângulo ACD é o ângulo externo.

A ser provado: mACD = mABC + mBAC (aqui, mACD denota a medida do ângulo ACD)

Prova:

Afirmativas	Motivo
Em ∆ABC, ma + mb + mc = 180°------[1]	Soma das medidas de todos os ângulos de um triângulo é 180°
Também, mb + md = 180°-------[2]	Axioma do par linear
∴ ma + mc + mb = mb + md	De [1] e [2]
∴ ma + mc + mb = mb + md
∴ md = ma + mc
i.e. mACD = mABC + mBAC

Referências

• Geometry Textbook - Standard IX, Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education, Pune - 411 005, India.
• Wheater, Carolyn C. (2007), Homework Helpers: Geometry, ISBN 978-1-56414-936-7, Franklin Lakes, NJ: Career Press, pp. 88–90 . oeoe fdr