Máximo divisor comum
O máximo divisor comum (abreviadamente, MDC) entre dois ou mais números inteiros é o maior número inteiro que é fator de tais números.[1] Por exemplo, os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6, logo mdc(12,18)=6. A definição abrange qualquer número de termos, por exemplo mdc(10,15,25,30)=5. O máximo divisor comum também pode ser representado só com parênteses. Com esta notação, dizemos que dois números inteiros a e b são primos entre si , se e somente se mdc(a, b)=1
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:
Seja o máximo divisor comum entre e , e e o resultado da divisão de ambos por , respectivamente.
Então, o seguinte é verdadeiro:
No contexto da teoria dos anéis, um máximo divisor comum é definido de forma análoga: ele é um elemento m que divide a e b, e tal que qualquer outro divisor x comum de a e b é um divisor de m. Nem sempre existe um máximo divisor comum, e nem sempre ele é único.
Propriedades
- Se b > 0 é um divisor de a, então (a, b) = b.[2]
- O máximo divisor comum ou MDC é uma operação associativa: (a,(b,c))=((a,b),c)=(a,b,c);
- Tem-se (a,b). [a,b]=ab, onde [a,b] representa o mínimo múltiplo comum;
- O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum verificam as seguintes propriedades distributivas:
- (a, [b,c])=[(a,b),(a,c)]
- [a,(b,c)]=([a,b], [a,c]);
- (ca,cb)=c(a,b);
- Se d=(a,b), então existem inteiros x e y tais que d=ax+by;
- Se ax+by=1, então (a,b)=1;
- Se c>0 e a e b são divisiveis por c então: (a/c,b/c) = 1/c*(a,b);
- Se a e b são inteiros e a=q*b + r onde q e r são inteiros, então:
(a,b)=(b,r).
Determinação do máximo divisor comum
Há duas formas de determinar o máximo divisor comum de dois números:
- A primeira é fatorar os números e a partir daí, pegar os fatores comuns a todos números e deixá-los com o menor expoente que o fator analisado apresentar entre todos os números..[3]
- Exemplo:
- Achemos o MDC de 30 e 12. Note que: e , então (fatores comuns aos números e o menor expoente do fator. No caso do 2 tínhamos expoentes 1 e 2, mas pegamos o menor, daí ficou só 2 e não 2 ao quadrado).
- A segunda consiste em escrever os dois números, separados por um traço vertical; em seguida, compara-se os números, e em baixo do maior deles coloca-se a diferença entre os dois. Agora compara-se o último número que se escreveu, com o que ficou na outra coluna, repetindo-se o processo até que se obtenha igualdade entre os números nas duas colunas, que é o resultado procurado.[4]
Algoritmo de Euclides
O algoritmo de Euclides consiste em efectuar divisões sucessivas entre dois números até obter resto zero. O máximo divisor comum entre os dois números iniciais é o último resto diferente de zero obtido. Este método não requer qualquer factorização..
Ver também
Notas
Referências
- Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves