Teorema do confronto

O chamado teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma sequência/sucessão numérica ou função real contanto que esteja limitada entre duas sequências/sucessões ou funções convergentes para o mesmo limite.

Este teorema também é chamado de teorema do/da sanduíche, porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão.

Teorema do confronto para sequências (Teorema das sucessões enquadradas)

Sejam $a_{n}\,$, $b_{n}\,$ e $c_{n}\,$ sequências de números reais tais que:

• ${\color {NavyBlue}\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L\,}$

• ${\color {NavyBlue}a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}\,}$

Então, $b_{n}\,$ é uma sequência convergente e ainda:

• ${\color {NavyBlue}\lim _{n\to \infty }b_{n}=L\,}$

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)

Sejam $f(x)\,$, $g(x)\,$ e $h(x)\,$ funções reais definidas em um domínio $D\subseteq \mathbb {R} \,$ e seja $a\,$ um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:

• ${\color {NavyBlue}\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L\,}$

• ${\color {NavyBlue}f(x)\leq g(x)\leq h(x)\,}$

Então existe o limite:

• ${\color {NavyBlue}\lim _{x\to a}g(x)=L\,}$

Exemplo

Gráfico com as funções ${\frac {1}{x^{2}}}$ (azul escuro), ${\frac {\sin x}{x^{2}}}$ (cinzento tracejado) e ${\frac {-1}{x^{2}}}$ (azul ciano). Quando x tende para infinito (positivo) a função ${\frac {\sin x}{x^{2}}}$ fica "ensanduichada" pelas outras duas funções.

Este comportamento traduz-se analiticamente por:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle {\color{NavyBlue}\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to \infty}\frac{-1}{x^2}=0\,}}

E como:

${\color {NavyBlue}{\frac {-1}{x^{2}}}\leq {\frac {\sin x}{x^{2}}}\leq {\frac {-1}{x^{2}}}\,}$,

Conclui-se que:

${\color {NavyBlue}\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sin x}{x^{2}}}=0\,}$

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, $x\in \mathbb {N}$).