Teorema do confronto: diferenças entre revisões
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<math>{\color{NavyBlue}\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to \infty}\frac{-1}{x^2}=0\,}</math> |
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Revisão das 21h54min de 5 de maio de 2009
O chamado teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma sequência/sucessão numérica ou função real contanto que esteja limitada entre duas sequências/sucessões ou funções convergentes para o mesmo limite.
Este teorema também é chamado de teorema do/da sanduíche, porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão.
Teorema do confronto para sequências (Teorema das sucessões enquadradas)
Sejam , e sequências de números reais tais que:
Então, é uma sequência convergente e ainda:
Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)
Sejam , e funções reais definidas em um domínio e seja um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:
Então existe o limite:
Exemplo
Gráfico com as funções (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano). Quando x tende para infinito (positivo) a função fica "ensanduichada" pelas outras duas funções.
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
E como:
,
Conclui-se que:
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, ).