Teorema do confronto: diferenças entre revisões
Linha 42: | Linha 42: | ||
[[Imagem:Squeezedfunction.jpg|250px|right|thumb|Gráfico de alusivo ao teorema do confronto.]] |
[[Imagem:Squeezedfunction.jpg|250px|right|thumb|Gráfico de alusivo ao teorema do confronto.]] |
||
Considere os gráficos à direita das funções <math>\frac{1}{x^2}</math> (azul escuro), <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> (cinzento tracejado) e <math>\frac{-1}{x^2}</math> (azul ciano). |
|||
Quando x tende para infinito (positivo) a função <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> fica "ensanduichada" pelas outras duas funções. |
Quando x tende para infinito (positivo) a função <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> fica "ensanduichada" pelas outras duas funções. |
Revisão das 19h27min de 10 de maio de 2009
O chamado teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma sequência/sucessão numérica ou função real contanto que esteja limitada entre duas sequências/sucessões ou funções convergentes para o mesmo limite.
Este teorema também é chamado de teorema do/da sanduíche, porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão.
Teorema do confronto para sequências (Teorema das sucessões enquadradas)
Sejam , e sequências de números reais tais que:
Então, é uma sequência convergente e ainda:
Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)
Sejam , e funções reais definidas em um domínio e seja um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:
Então existe o limite:
Exemplo (em )
Considere os gráficos à direita das funções (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano).
Quando x tende para infinito (positivo) a função fica "ensanduichada" pelas outras duas funções.
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
E como:
,
Conclui-se que:
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, ).