Teorema do confronto

O chamado teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma sequência/sucessão numérica ou função real contanto que esteja limitada entre duas sequências/sucessões ou funções convergentes para o mesmo limite.

Este teorema também é chamado de teorema do/da sanduíche (no Brasil... enfim...), porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão.

Teorema do confronto para sequências (Teorema das sucessões enquadradas)

Sejam $a_{n}\,$, $b_{n}\,$ e $c_{n}\,$ sequências de números reais tais que:

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L\,$

• $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}\,$

Então, $b_{n}\,$ é uma sequência convergente e ainda:

• $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L\,$

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)

Sejam $f(x)\,$, $g(x)\,$ e $h(x)\,$ funções reais definidas em um domínio $D\subseteq \mathbb {R} \,$ e seja $a\,$ um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:

• $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L\,$

• $f(x)\leq g(x)\leq h(x)\,$

Então existe o limite:

• $\lim _{x\to a}g(x)=L\,$

Exemplo (com $x\in \mathbb {R}$)

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere os gráficos à direita das funções ${\frac {1}{x^{2}}}$ (azul escuro), ${\frac {\sin x}{x^{2}}}$ (cinzento tracejado) e ${\frac {-1}{x^{2}}}$ (azul ciano).

Quando x tende para infinito (positivo) a função ${\frac {\sin x}{x^{2}}}$ fica "ensanduichada" pelas outras duas funções.

Este comportamento traduz-se analiticamente por:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-1}{x^{2}}}=0\,$

E como:

${\frac {-1}{x^{2}}}\leq {\frac {\sin x}{x^{2}}}\leq {\frac {1}{x^{2}}}\,$,

Conclui-se que:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sin x}{x^{2}}}=0\,$

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, $x\in \mathbb {N}$).