Coordenadas hiperbólicas

Coordenadas hiperbólicas plotadas no pkano cartesiano: u em azul e v em vermelho

Em matemática, as coordenadas hiperbólicas são um método útil para a localização de pontos no primeiro quadrante do plano cartesiano.

$\{(x,y)\ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q\ \!$.

As coordenadas hiperbólicas assumem valores tais que

$HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}$.

Para um ponto $(x,y)$ em $Q$ temos

$u=-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {y}{x}}\right)$

e

$v={\sqrt {xy}}$.

O parâmetro $u$ algumas vezes é chamado ângulo hiperbólico e $v$ a média geométrica.

A transformação inversa é

$x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}$.

Esta é uma transformação contínua, mas não é uma função analítica.

Modelo quadrante para a geometria hiperbólica

A correspondência

$Q\leftrightarrow HP$

proporciona a estrutura de uma geometria hiperbólica a Q, que é projetado sobre HP por um movimento hiperbólico. As linhas hiperbólicas de Q são retas que partem da origem ou curvas em forma de pétala que saem e entram pela origem. O desvio da esquerda para a direita em HP corresponde a um mapeamento comprimido aplicado a Q.

Aplicações à Física

Relações com unidades físicas, como:

• E = IR  : Lei de Ohm
• P = VI  : Potência elétrica
• PV = kT  : Lei do gás ideal

todas sugerindo a análise cuidadosa dos eixos coordenados. Por exemplo, na termodinâmica o processo isotérmico segue explicitamente o caminho hiperbólico e o trabalho pode ser interpretado como uma variação do ângulo hiperbólico. Da mesma forma, um processo isobárico pode resultar numa hipérbole no eixo temperatura versus densidade absoluta do gás.

Aplicações à estatística

• Estudos comparativos da densidade populacional começam com a escolha de um país, região ou área urbana de referência, cuja população e área são tomados como o ponto (1,1).

• Análises dos representantes políticos de uma região sob regime democrático começa com a escolha de um padrão de comparação: um grupo particular representativo, cuja magnitude e ardósia magnitude (de representantes) é de (1,1) no gráfico.

Aplicações à economia

Há muitas aplicações naturais das coordenadas hiperbólicas na economia:

• Análise da flutuação da taxa de câmbio monetária:

A unidade monetária é definida por $x=1$. O preço da moeda corresponde ao valor $y$. Para

$0<y<1$

encontramos $u>0$, um ângulo hiperbólico positivo. Para uma flutuação toma-se um novo preço

$0<z<y$.

Então a variação em u é:

$\Delta u={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {y}{z}}\right)$.

A quantificação da flutuação da taxa de câmbio através de um ângulo hiperbólico fornece uma medida objetiva, simétrica e consistente. A quantidade $\Delta u$ é o comprimento do deslocamento da esquerda para a direita do ponto de vista do movimento hiperbólico da flutuação da moeda.

• Análise da inflação ou deflação de preços da cesta básica.
• Quantificação da alteração na cota de mercado de duopólio.
• Fotografia corporativa versus recompra de ações.