Teorema do confronto: diferenças entre revisões
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[[Ficheiro:Squeezedfunction.jpg|250px|right|thumb|Gráfico alusivo ao teorema do confronto.]] |
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Considere os gráficos à direita das funções <math>\frac{1}{x^2}</math> (azul escuro), <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> (cinzento tracejado) e <math>\frac{ |
Considere os gráficos à direita das funções <math>\frac{1}{x^2}</math> (azul escuro), <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> (cinzento tracejado) e <math>-\frac{1}{x^2}</math> (azul ciano). |
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Quando x tende para infinito (positivo) a função <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> fica "ensanduichada" pelas outras duas funções. |
Quando x tende para infinito (positivo) a função <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> fica "ensanduichada" pelas outras duas funções. |
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<math>\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\frac{ |
<math>\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{x^2}=0\,</math> |
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<math>-\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}\,</math>, |
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Revisão das 16h37min de 5 de julho de 2010
O chamado teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma sequência/sucessão numérica ou função real contanto que esteja limitada entre duas sequências/sucessões ou funções convergentes para o mesmo limite.
Este teorema também é chamado de teorema do/da sanduíche , porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão.
Teorema do confronto para sequências (Teorema das sucessões enquadradas)
Sejam , e sequências de números reais tais que:
Então, é uma sequência convergente e ainda:
Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)
Sejam , e funções reais definidas em um domínio e seja um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:
Então existe o limite:
Exemplo (com )
Considere os gráficos à direita das funções (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano).
Quando x tende para infinito (positivo) a função fica "ensanduichada" pelas outras duas funções.
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
E como:
,
Conclui-se que:
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, ).