Fração contínua

Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma ${\frac {1}{2}}$, bem como ${\frac {5}{10}}$. A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma $a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+{\frac {b_{2}}{a_{2}+{\frac {b_{3}}{a_{3}+\cdots }}}}}}$, em que o primeiro termo, $a_{0}$, é um número inteiro e os demais números $a_{1},a_{2},\ldots ,b_{1},b_{2},\ldots ,$ são números inteiros positivos.

Fração contínua simples

Uma fração continuada simples é uma expressão da forma $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$, em que todos os números $b_{j}$ são iguais a 1. Uma expressão da forma $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{\ddots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}$ é chamada fração continuada simples finita. Tais representações podem ser denotadas respectivamente por $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ e $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$. Nessa notação, o termo $a_{0}$ é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado. Por exemplo, ${\frac {10}{7}}=1+{\frac {3}{7}}=1+{\frac {1}{\frac {7}{3}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{3}}}}$, que pode ser denotada por ${\frac {10}{7}}=[1;2,3]$.

Um exemplo mais detalhado: a representação do número ${\frac {344}{77}}$ na forma de fração continuada.

Usando o algoritmo da divisão, tem-se: $344=4\times 77+36$. Logo, ${\frac {344}{77}}=4+{\frac {36}{77}}$.

Como a fração no lado direito da expressão anterior é própria, é possível escrevê-la na forma ${\frac {1}{\frac {77}{36}}}$. Assim, tem-se: ${\frac {344}{77}}=4+{\frac {36}{77}}=4+{\frac {1}{\frac {77}{36}}}$.

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, ${\frac {77}{36}}=2+{\frac {5}{36}}=2+{\frac {1}{\frac {36}{5}}}$.

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: ${\frac {344}{77}}=4+{\frac {36}{77}}=4+{\frac {1}{\frac {77}{36}}}=4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\frac {36}{5}}}}}=4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{7+{\frac {1}{5}}}}}}$.

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois na divisão de 5 por 1 o resto é igual a 0 e, portanto, o cálculo termina. Por esse motivo, a representação do número ${\frac {344}{77}}$ na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5]. É interessante observar que a representação decimal do número ${\frac {344}{77}}$ é infinita e a representação na forma de fração continuada é finita.

Toda fração continuada finita representa um número racional e, reciprocamente, todos os racionais podem ser escritos na forma de uma fração continuada finita.

Referências

COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.

DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.

OLDS, C. D. , Continued Fractions, Mathematical Association of America, V. 9, New York, 1963.