Subestrutura: diferenças entre revisões
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Dadas duas estruturas A e B, como sabemos se: |
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A é subestrutura de B? |
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I) Mesma assinatura → Relações binárias, ternárias; funções... |
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II) Mesma natureza de domínio → A ⊆ B |
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III) “Tudo” é preservado |
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== Exemplo == |
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Na linguagem que consiste das funções binárias + e ×, relações binárias <, e constantes 0 e 1, a estrutura (Q, +, ×, <, 0, 1) é uma subestrutura de (R, +, ×, <, 0, 1). Mais genericamente, as subestruturas de um corpo ordenado são precisamente seus subcampos. Da mesma forma, na linguagem (x, -1, 1) de grupos, as subestruturas de um grupo são seus subgrupos. |
Na linguagem que consiste das funções binárias + e ×, relações binárias <, e constantes 0 e 1, a estrutura (Q, +, ×, <, 0, 1) é uma subestrutura de (R, +, ×, <, 0, 1). Mais genericamente, as subestruturas de um corpo ordenado são precisamente seus subcampos. Da mesma forma, na linguagem (x, -1, 1) de grupos, as subestruturas de um grupo são seus subgrupos. |
Revisão das 22h51min de 27 de junho de 2012
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Em lógica matemática, uma subestrutura é uma estrutura cujo domínio é um subconjunto de uma estrutura maior, e cujas funções e relações são têm origem das funções e relações da estrutura maior. Mudando o ponto de vista, a estrutura maior é chamada de uma extensão ou uma superestrutura de uma subestrutura. Na Teoria dos modelos, o termo "submodelo" é freqüentemente usado como sinônimo de subestrutura, especialmente quando o contexto sugere uma teoria em que ambas as estruturas são modelos. Na presença de relações (ou seja, para estruturas como conjuntos ordenados ou gráficos, cuja assinatura não é funcional) pode fazer sentido abrandar as condições em uma subálgebra de modo que as relações em uma subestrutura fraca são, no máximo, aquelas induzidas a partir da estrutura maior. Subgrafos são um exemplo onde a distinção importa, e o termo "subgrafo", de fato, refere-se a subestruturas fracas. Conjuntos ordenados, por outro lado, têm a propriedade especial de que cada subestrutura de um conjunto ordenado que é também é um conjunto ordenado, é uma subestrutura induzida.'
Dadas duas estruturas A e B, como sabemos se:
- A é subestrutura de B?
- B é subestrutura de A?
I) Mesma assinatura → Relações binárias, ternárias; funções...
II) Mesma natureza de domínio → A ⊆ B
III) “Tudo” é preservado
Definição
Sejam A e B duas estruturas de "MESMA ASSINATURA L". Uma função entre os domínios de A e B, isto é, h : dom(A) → dom(B) , “preserva os papéis” se:
1. Para todo símbolo de constante c de L:
* h(c^a) = c^b
2. Para todo símbolo de relação n-ária (n > 0) R de L:
* se (x1, x2,..., xn) ∈ R^a então (h(x1), h(x2),..., h(xn)) ∈ R^b
3. Para todo símbolo de função n-ária (n > 0) m de L:
* h(m^a(x1,x2,...,xn)) = m^b(h(x1),h(x2),...,h(xn))
As definições acima definem um "Homomorfismo". Para que haja um "Homomorfismo imersor", a função h deve ser "Injetiva" e no lugar de "se" temos "sse"(se somente se). Já para o caso de "Isomorfismo", além de ser "imersor", a função deve ser "Bijetiva" ("Imersão sobrejetora").
Sejam A e B duas estruturas, dizemos que A ⊆ B sse há um "HOMOMORFISMO IMERSOR" de A para B e dom(A) ⊆ dom(B) . Nesse caso dizemos que A é "SUBESTRUTURA" de B ou que B é "EXTENSÃO" de A
Exemplo
Na linguagem que consiste das funções binárias + e ×, relações binárias <, e constantes 0 e 1, a estrutura (Q, +, ×, <, 0, 1) é uma subestrutura de (R, +, ×, <, 0, 1). Mais genericamente, as subestruturas de um corpo ordenado são precisamente seus subcampos. Da mesma forma, na linguagem (x, -1, 1) de grupos, as subestruturas de um grupo são seus subgrupos. No caso de gráficos (na assinatura consistindo de uma relação binária), as subestruturas induzida de um gráfico são precisamente os seus subgrafos induzidos, e suas subestruturas fracas são precisamente seus subgrafos.
Subestruturas como subobjetos
Para cada assinatura s, subestruturas induzidas de s-estruturas são os subobjetos na categoria concreta de s-estruturas e homomorfismos forte (e também na categoria concreta de s-estruturas e s-imersões). Subestruturas fracas de s-estruturas são os subobjetos na categoria concreta de s-estruturas e homomorfismos no sentido comum.
Submodelo
Em Teoria dos modelos, dada uma estrutura M, que é um modelo de uma teoria T, um submodelo de M em um sentido mais estrito é uma subestrutura de M que é também um modelo de T. Por exemplo, se T é a teoria de grupos abelianos na assinatura (+, 0), então o submodelos do grupo dos inteiros (Z, +, 0) são as subestruturas que também são os grupos. Assim, os números naturais (N, +, 0) forma uma subestrutura de (Z, +, 0) que não é um submodelo, enquanto os números pares (2Z, +, 0) formam um submodelo que é (um grupo, mas) não um subgrupo.
Outros Exemplos
- Os números algébricos formam um submodelo dos números complexos na teoria de corpos algebricamente fechados.
- Os números racionais formam um submodelo dos números reais na teoria dos corpos.
- Toda subestrutura básica de um modelo de uma teoria T também satisfaz T; logo T é um submodelo.
Na categoria de modelos de uma teoria e imersão entre eles, os submodelos de um modelo são os seus subobjetos.
Notas
- Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Substructure», especificamente desta versão.
Referências
- Apostila de Lógica para Computação
Segunda unidade: Lógica de Predicados - Ruy J. Guerra B. de Queiroz
- Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1981), A Course in Universal Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag
- Diestel, Reinhard (2005) [1997], Graph Theory, ISBN 978-3-540-26183-4, Graduate Texts in Mathematics, 173 3rd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag
- Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, ISBN 978-0-521-58713-6, Cambridge: Cambridge University Press