Teorema do confronto: diferenças entre revisões
Linha 10: | Linha 10: | ||
* <math>\lim_{x\to a}g(x)=L</math> |
* <math>\lim_{x\to a}g(x)=L</math> |
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Linha 19: | Linha 18: | ||
* <math>a_n\leq b_n\leq c_n</math> |
* <math>a_n\leq b_n\leq c_n</math> |
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Então, resulta destas condições que: |
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* <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L</math> |
* <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L</math> |
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== Exemplo (com <math>x\in\mathbb{R}</math>) == |
== Exemplo (com <math>x\in\mathbb{R}</math>) == |
Revisão das 10h56min de 28 de setembro de 2013
O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse essa função se encontre limitada (inferior e superiormente) por duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.
Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)
Sejam , e funções reais definidas num domínio e seja um ponto deste domínio, tais que:
Então, resulta destas condições que:
Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas)
Sejam , e sucessões de números reais tais que:
Então, resulta destas condições que:
Para finito, a sucessão diz-se convergente (para ).
Exemplo (com )
Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano).
Quando x tende para infinito (positivo) a função fica "enquadrada" pelas outras duas funções.
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
E como:
,
Conclui-se que:
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, ).