Teorema do confronto

O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse dessa função se encontre limitada (inferior e superiormente) por duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)

Sejam $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ funções reais definidas num domínio $D\subseteq \mathbb {R}$ e seja $a$ um ponto deste domínio, tais que:

• $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L$
• $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$

Então, resulta destas condições que:

• $\lim _{x\to a}g(x)=L$

Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas)

Sejam $a_{n}$, $b_{n}$ e $c_{n}$ sucessões de números reais tais que:

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$
• $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$

Então, resulta destas condições que:

• $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$

Para $L$ finito, a sucessão diz-se convergente (para $L$).

Exemplo (com $x\in \mathbb {R}$)

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ (azul escuro), $g(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}$ (cinzento tracejado) e $h(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$ (azul ciano).

Repare que a função $g(x)$ está "enquadrada" (i.e., limitada inferior e superiormente) pelas outras duas funções:

• $h(x)\leq g(x)\leq f(x)$ $\Leftrightarrow -{\frac {1}{x^{2}}}\leq {\frac {\sin x}{x^{2}}}\leq {\frac {1}{x^{2}}}$

e que

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{x^{2}}}=0$,

Conclui-se que o comportamento de $g(x)$ à medida que $x\to +\infty$ traduz-se analiticamente por:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sin x}{x^{2}}}=0$

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável $x$ (nesse caso, $x\in \mathbb {N}$).