Grupo de Cremona

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Em matemática, na geometria algébrica, o grupo Cremona de ordem sobre um corpo , introduzido por Predefinição:Harvs, é o grupo dos Automorfismos birracionais de um espaço projetivo -dimensional sobre um corpo . Este é denotado por ou Bir(Pn(k)) ou Crn(k).

O grupo Cremona é naturalmente identificado com o grupo de automorfismo Autk(k(x1, ..., xn)) do corpo das funções racionais com n variáveis sobre k, ou em outras palavras a pura extensão transcendental de k, com transcendente de grau n.

O grupo linear projetivo geral de ordem n+1, de transformações projetivas, está contido no grupo Cremona de ordem n. Os dois grupos são iguais somente quando n=0 or n=1, neste caso ambos numerador e denominador da transformação devem ser lineares.

O grupo Cremona em 2 dimensões[editar | editar código-fonte]

Em duas dimensões, Max Noether e Castelnuovo mostraram que o grupo Cremona complexo é gerado pela transformação quadrática padrão, junto com PGL(3, k), embora houvesse alguma controvérsia sobre se suas provas estavam corretas, e Gizatullin ( 1983) deu um conjunto completo de relações para esses geradores. A estrutura deste grupo ainda não é bem compreendida, embora tenha havido muito trabalho em encontrar elementos ou subgrupos dele.

  • Cantat & Lamy (2010) mostrou que o grupo de Cremona não é simples como um grupo abstrato;
  • Blanc mostrou que não tem subgrupos normais não triviais que também são fechados em uma topologia natural.
  • Para os subgrupos finitos do grupo de Cremona, ver Dolgachev & Iskovskikh (2009).

O grupo de Cremona em dimensões maiores[editar | editar código-fonte]

Pouco se sabe sobre a estrutura do grupo de Cremona em três dimensões e dimensões superiores, embora muitos elementos dele tenham sido descritos. Blanc (2010) mostrou que ele está (linearmente) conectado, respondendo a uma questão de Serre (2010). Não há análogo fácil do teorema de Noether-Castelnouvo como mostrado por Hudson (1927) o grupo Cremona em dimensão pelo menos 3 não é gerado por seus elementos de grau limitados por qualquer inteiro fixo.

O grupo De Jonquières[editar | editar código-fonte]

O grupo De Jonquières é um subgrupo do grupo Cremona da seguinte forma. Escolha a base transcendente x1, ..., xn para a extensão do corpo k. Então o grupo De Jonquières é um subgrupo dos automorfismos de k(x1, ..., xn) aplicados a um subcorpo de k(x1, ..., xr) sobre si mesmo para algum rn. Este tem subgrupo normal dado pelo grupo Cremona doa automorafismos de k(x1, ..., xn) sobre o corpo k(x1, ..., xr), e o grupo quociente é o grupo Cremona de k(x1, ..., xr) sobre o corpo k. Este pode também ser considerado como o grupo dos automorfismo birracionais de um feixe de fibras Pr×PnrPr.

Quando n=2 e r=1 o grupo De Jonquières é o grupo de Cremona das transformações que fixam um feixe de linhas através de um dado ponto, e é o produto semidireto de PGL2(k) e PGL2(k(t)).

Referências[editar | editar código-fonte]