Ideal de tipo linear

Os ideais de tipo linear são amplamente estudados na álgebra comutativa com os anéis de polinômios e sua conexão direta com as álgebra de Rees por conta de sua definição.

Definição

Definição (Ideal de tipo linear) Seja $F=\{f_{1},\dots ,f_{r}\}\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]=R$e $I=(F)$. Considere a aplicação

${\begin{matrix}\varphi :&R[y_{1},\dots ,y_{r}]&\longrightarrow &R[f_{1}t,\dots ,f_{r}t]\\&y_{i}&\mapsto &f_{i}t\\&a\in R&\mapsto &a\end{matrix}}$

Então $I$é dito de tipo linear quando os geradores do $\ker(\varphi )$tem grau $1$ nas variáveis $y_{i}$.

Ideais de tipo linear gerados por monômios de grau 2 e álgebra linear

Seja $F=\{X^{\alpha _{1}},\dots ,X^{\alpha _{n}}\}\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]$com $\alpha _{i}=(\alpha _{i1},\dots ,\alpha _{in})\in \mathbb {Z} _{+}^{n}$e $X^{\alpha _{i}}=x_{1}^{\alpha _{i1}}x_{2}^{\alpha _{i2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{in}}$então a matriz $A_{F}=[\alpha _{1}|\alpha _{2}|\dots |\alpha _{n}]$é chamada de matriz-log.

Exemplo: Note que para $F=\{xy,yz,xz\}\subset k[x,y,z]$, temos $A_{F}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}$é a matriz-log do conjunto $F$.

Proposição: Seja $F\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ conjunto finito de monômios de grau 2 sem fator comum próprio então $\det(A_{F})\neq 0$se, e somente se, $(F)$é ideal de tipo linear.

Referências

• Simis, A.;Villarreal, R, Linear syzygies and birational combinatorics, Results Math. 48 (2005), 326-343