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Integral: diferenças entre revisões

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{{Minidesambig|o telescópio espacial INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory (INTEGRAL)|INTEGRAL}}

{{Cálculo}}
No [[cálculo]], a '''integral''' de uma [[função]] foi criada originalmente para determinar a [[área]] sob uma [[curva]] no [[plano cartesiano]]<ref name="charles.doss">[[Charles Doss]], ''An Introduction to the Lebesgue Integral'', [http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2006/PAPERS/Doss.pdf <small><nowiki>[em linha]</nowiki></small>]</ref> e também surge naturalmente em dezenas de problemas de [[Física]], como por exemplo na determinação da [[posição]] em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua [[Velocidade|velocidade instantânea]] em todos os instantes. {{Carece de fontes}}

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de '''integração'''.

Diferentemente da noção associada de [[derivada|derivação]], existem várias [[definição|definições]] para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas [[conceito|conceituais]] relacionados a [[limite]]s, [[Função contínua|continuidade]] e [[existência]] de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.<ref name="charles.doss" />

A integral indefinida também é conhecida como '''antiderivada'''.

== Definição formal e notação ==

===Integral definida===
[[Imagem:Integral as region under curve.png|thumb|287px|Integrando a área de uma função abaixo de uma curva]]
Seja f uma [[função]] contínua definida no intervalo [a,b]. A '''integral definida''' desta função é denotada como<ref name="Stewart-378">Stewart (2002), p. 378.</ref>:

{| class="wikitable"
|-
! Em [[linguagem]] [[matemática]] !! Em [[Língua portuguesa|Português]]
|-
| <math> S = {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx</math> || S é a integral da função <math>{f(x)}</math>, no intervalo entre a e b. <math>{\int} </math> é o sinal da integral, <math>{f(x)}</math> é o integrando e os pontos <math>{a}</math> e <math>{b}</math> são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.
|-
| Onde <math> {f}: \left [ {a},{b} \right ] \rightarrow \mathbb{R} </math> || <math>{f}</math> é uma [[função]] com [[domínio]] no espaço fechado [a,b] (com <math>{a} \le x \le {b} </math>) e com [[conjunto imagem|imagem]] no [[conjunto]] dos [[números reais]]
|}

A ideia desta notação utilizando um ''S'' comprido é generalizar a noção de [[Adição|somatório]]<ref>W3C (2006), ''[http://www.w3.org/TR/arabic-math/ Arabic mathematical notation]'' {{en}}</ref>. Isto porque intuitivamente a integral de <math>{f(x)}</math> pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base <math>\Delta x</math> tendendo a zero e altura <math>{f(x_i^*)}</math>, onde o produto <math>\Delta x {f(x_i^*)}</math> é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:<ref name="Stewart-378" />

{| class="wikitable"
|-
! Em linguagem matemática !! Em Português
|-
| <math> {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} {f(x_i^*)} \Delta x </math> || A integral de <math>{f(x)}</math> no intervalo [a,b] é igual ao [[limite]] do somátório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por <math>\Delta x</math>. O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de <math>{f(x)}</math> no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de [[soma de Riemann]], mas há outras formas (equivalentes).
|-
| onde <math>\Delta x = \frac{b-a}{n}</math> || comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os [[número]]s <math>x_0 \left ( =a \right ),x_1,...x_n \left ( =b \right )</math>.
|-
| onde <math>{f(x_i^*)}</math> || Valor ("altura") da função <math>{f(x)}</math> quando x é igual ao ponto amostral <math>x_i^*</math>, definido como um ponto que está no subintervalo <math>\left [ x_{i-1},x_i \right ]</math> (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).
|}

Uma integral definida pode ser própria ou [[integral imprópria|imprópria]], convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.

===Integral indefinida===
Integral indefinida é uma [[função]] (ou família de funções), assim definida <ref name="Piskounov">Piskounov, Nikolai Semenovich; ''Cálculo Diferencial e Integral''; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols.</ref> <ref>Stewart (2002), p. 401. </ref>:
:<math> \int {f(x)}dx = F(x) </math> se e somente se <math> {\frac{dF(x)}{dx}}= {f(x)}</math>, ou, o que é a mesma coisa, <math> \int {f(x)}dx = F(x) \leftrightarrow {F' \left ( x \right )} = {f(x)} </math>

===Relação entre integral definida indefinida===
A integral definida <math> {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx</math> é um [[número]]; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma [[função]] ou família de funções. A conexão entre elas é dada pelo [[Teorema Fundamental do Cálculo]]. Se <math>{f}</math> for contínua em [a,b], então <ref>Stewart (2002), pp. 379 e 401. </ref>.
:<math> {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx = \int {f(x)} dx |_a^b</math>

Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a,b], resulta no valor da integral definida.

== Teorema fundamental do Cálculo ==

{{AP|[[Teorema fundamental do cálculo]]}}

Caso se resolva a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado final pode ser escrito como:
:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

onde a função ''F(x)'' é a função resultante da integração da função ''f(x)''. O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função ''F(x)''.

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é, ''b'', seja muito próximo de ''a'', tal que se possa escrever:
:<math> b = a + \Delta x </math>

Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode-se escrever:

:<math> \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = F(a + \Delta x) - F(a) </math>

Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode-se dizer que a integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-se afirmar, sem causar um erro muito grande, que:

:<math> \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = f(a) \Delta x = F(a + \Delta x) - F(a) </math>

Comparando com a definição da [[derivada]] de uma função:

:<math> f(x) = \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

vê-se que a função procurada ''F(x)'' é uma função tal que, quando tomada a sua derivada, obtém-se a função ''f(x)''. Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função pode-se também calcular a integral da função resultante.
Esta propriedade mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for derivada e em seguida o resultado integrado, obtém-se a função original. Esta propriedade é chamada de '''Teorema fundamental do Cálculo'''.

== Passo-a-Passo ==

Integral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função integrada a cada membro.

'''Fórmula das Primitivas'''

:<math> \int a\cdot x^{n} dx = \frac{a\cdot x^{n+1}} {n+1} </math>

Exemplo:

Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.

:No intervalo (0,3)

:<math> f(x) = x^2+2x+4 </math>

:<math> \int x^{2} dx + \int (2x) dx + \int (4) dx </math>

Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral.

:<math> \frac{x^{2+1}} {2+1} + \frac{2\cdot x^{1+1}} {1+1} + \frac{4 \cdot x^{0+1}} {0+1} </math>

Gera-se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo.

:<math> \frac{x^3} {3} + \frac{2\cdot x^2} {2} + 4\cdot x </math>

Para x = 0
:<math> f(a) = 0 </math>

Para x = 3
:<math> \frac{3^3} {3} + \frac{2\cdot 3^2} {2} + 4\cdot 3 </math>
:<math> f(b) = 30 </math>

== Aplicação do teorema fundamental do Cálculo==
[[Imagem:Integral approximations.svg|thumb|right|Aproximações da integral de &radic;''x'' de 0 a 1, com <span style="color:#fec200">■</span>&nbsp;5 amostras à direita (acima) e <span style="color:#009246">■</span>&nbsp;12 amostras à esquerda (abaixo)]]
:<math> \int_{a}^{b} \frac {d}{dx}f(x) dx = f(b) - f(a) </math>

:<math> \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = \frac{3^3} {3} + \frac{2.3^{2}} {2} + 4.3 - 0 = 3^2 + 3^2 + 12 = 9 + 9 + 12</math>

:<math> \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = 30 </math>

== Exemplos de integração ==
Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns:

:<math> \int_{a}^{b} 1 dx = x|_a^b = (b-a)</math> (Integral da função constante)
:<math> \int_{a}^{b} x dx = \frac{1}{2} x^2|_a^b = \frac{1}{2}(b^2-a^2)</math> (Integral da função f(x) = x )

Por definição a barra <math> f(x) |_a^b </math> é utilizada com o significado da diferença <math> f(b) - f(a)</math>

== Definições de integral ==

Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo

* [[Soma de Riemann]]
* [[Integral de Riemann]]
* [[Integral de Lebesgue]]
* [[Integral de Riemann-Stieltjes]]
* [[Integral de Henstock–Kurzweil|Integral de Henstock–Kurzweil ou integral de Gauge]]

=={{Ver também}}==
*[[Derivada]]
*[[Tábua de integrais]]
*[[Primitiva]]
*[[Integração numérica]]
*[[Métodos de integração]]
*[[Integral múltipla]]

== Notas ==
<references/>

== Referências ==
* STEWART, James. '''Cálculo - volume I'''. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2002. 4ª edição. ISBN 85-221-0235-X.

{{Funções}}
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[[Categoria:Cálculo integral]]
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Revisão das 14h27min de 7 de janeiro de 2013

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