Integral: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m r2.7.3) (Robô: A adicionar: bn, de, wuu A modificar: tl |
MARIO Etiqueta: Remoção de interwikis |
||
| Linha 1: | Linha 1: | ||
eu sou o maior |
|||
{{Minidesambig|o telescópio espacial INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory (INTEGRAL)|INTEGRAL}} |
|||
{{Cálculo}} |
|||
No [[cálculo]], a '''integral''' de uma [[função]] foi criada originalmente para determinar a [[área]] sob uma [[curva]] no [[plano cartesiano]]<ref name="charles.doss">[[Charles Doss]], ''An Introduction to the Lebesgue Integral'', [http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2006/PAPERS/Doss.pdf <small><nowiki>[em linha]</nowiki></small>]</ref> e também surge naturalmente em dezenas de problemas de [[Física]], como por exemplo na determinação da [[posição]] em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua [[Velocidade|velocidade instantânea]] em todos os instantes. {{Carece de fontes}} |
|||
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de '''integração'''. |
|||
Diferentemente da noção associada de [[derivada|derivação]], existem várias [[definição|definições]] para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas [[conceito|conceituais]] relacionados a [[limite]]s, [[Função contínua|continuidade]] e [[existência]] de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.<ref name="charles.doss" /> |
|||
A integral indefinida também é conhecida como '''antiderivada'''. |
|||
== Definição formal e notação == |
|||
===Integral definida=== |
|||
[[Imagem:Integral as region under curve.png|thumb|287px|Integrando a área de uma função abaixo de uma curva]] |
|||
Seja f uma [[função]] contínua definida no intervalo [a,b]. A '''integral definida''' desta função é denotada como<ref name="Stewart-378">Stewart (2002), p. 378.</ref>: |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- |
|||
! Em [[linguagem]] [[matemática]] !! Em [[Língua portuguesa|Português]] |
|||
|- |
|||
| <math> S = {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx</math> || S é a integral da função <math>{f(x)}</math>, no intervalo entre a e b. <math>{\int} </math> é o sinal da integral, <math>{f(x)}</math> é o integrando e os pontos <math>{a}</math> e <math>{b}</math> são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração. |
|||
|- |
|||
| Onde <math> {f}: \left [ {a},{b} \right ] \rightarrow \mathbb{R} </math> || <math>{f}</math> é uma [[função]] com [[domínio]] no espaço fechado [a,b] (com <math>{a} \le x \le {b} </math>) e com [[conjunto imagem|imagem]] no [[conjunto]] dos [[números reais]] |
|||
|} |
|||
A ideia desta notação utilizando um ''S'' comprido é generalizar a noção de [[Adição|somatório]]<ref>W3C (2006), ''[http://www.w3.org/TR/arabic-math/ Arabic mathematical notation]'' {{en}}</ref>. Isto porque intuitivamente a integral de <math>{f(x)}</math> pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base <math>\Delta x</math> tendendo a zero e altura <math>{f(x_i^*)}</math>, onde o produto <math>\Delta x {f(x_i^*)}</math> é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:<ref name="Stewart-378" /> |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- |
|||
! Em linguagem matemática !! Em Português |
|||
|- |
|||
| <math> {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} {f(x_i^*)} \Delta x </math> || A integral de <math>{f(x)}</math> no intervalo [a,b] é igual ao [[limite]] do somátório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por <math>\Delta x</math>. O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de <math>{f(x)}</math> no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de [[soma de Riemann]], mas há outras formas (equivalentes). |
|||
|- |
|||
| onde <math>\Delta x = \frac{b-a}{n}</math> || comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os [[número]]s <math>x_0 \left ( =a \right ),x_1,...x_n \left ( =b \right )</math>. |
|||
|- |
|||
| onde <math>{f(x_i^*)}</math> || Valor ("altura") da função <math>{f(x)}</math> quando x é igual ao ponto amostral <math>x_i^*</math>, definido como um ponto que está no subintervalo <math>\left [ x_{i-1},x_i \right ]</math> (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo). |
|||
|} |
|||
Uma integral definida pode ser própria ou [[integral imprópria|imprópria]], convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita. |
|||
===Integral indefinida=== |
|||
Integral indefinida é uma [[função]] (ou família de funções), assim definida <ref name="Piskounov">Piskounov, Nikolai Semenovich; ''Cálculo Diferencial e Integral''; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols.</ref> <ref>Stewart (2002), p. 401. </ref>: |
|||
:<math> \int {f(x)}dx = F(x) </math> se e somente se <math> {\frac{dF(x)}{dx}}= {f(x)}</math>, ou, o que é a mesma coisa, <math> \int {f(x)}dx = F(x) \leftrightarrow {F' \left ( x \right )} = {f(x)} </math> |
|||
===Relação entre integral definida indefinida=== |
|||
A integral definida <math> {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx</math> é um [[número]]; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma [[função]] ou família de funções. A conexão entre elas é dada pelo [[Teorema Fundamental do Cálculo]]. Se <math>{f}</math> for contínua em [a,b], então <ref>Stewart (2002), pp. 379 e 401. </ref>. |
|||
:<math> {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx = \int {f(x)} dx |_a^b</math> |
|||
Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a,b], resulta no valor da integral definida. |
|||
== Teorema fundamental do Cálculo == |
|||
{{AP|[[Teorema fundamental do cálculo]]}} |
|||
Caso se resolva a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado final pode ser escrito como: |
|||
:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> |
|||
onde a função ''F(x)'' é a função resultante da integração da função ''f(x)''. O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função ''F(x)''. |
|||
O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é, ''b'', seja muito próximo de ''a'', tal que se possa escrever: |
|||
:<math> b = a + \Delta x </math> |
|||
Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode-se escrever: |
|||
:<math> \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = F(a + \Delta x) - F(a) </math> |
|||
Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode-se dizer que a integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-se afirmar, sem causar um erro muito grande, que: |
|||
:<math> \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = f(a) \Delta x = F(a + \Delta x) - F(a) </math> |
|||
Comparando com a definição da [[derivada]] de uma função: |
|||
:<math> f(x) = \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math> |
|||
vê-se que a função procurada ''F(x)'' é uma função tal que, quando tomada a sua derivada, obtém-se a função ''f(x)''. Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função pode-se também calcular a integral da função resultante. |
|||
Esta propriedade mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for derivada e em seguida o resultado integrado, obtém-se a função original. Esta propriedade é chamada de '''Teorema fundamental do Cálculo'''. |
|||
== Passo-a-Passo == |
|||
Integral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função integrada a cada membro. |
|||
'''Fórmula das Primitivas''' |
|||
:<math> \int a\cdot x^{n} dx = \frac{a\cdot x^{n+1}} {n+1} </math> |
|||
Exemplo: |
|||
Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral. |
|||
:No intervalo (0,3) |
|||
:<math> f(x) = x^2+2x+4 </math> |
|||
:<math> \int x^{2} dx + \int (2x) dx + \int (4) dx </math> |
|||
Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral. |
|||
:<math> \frac{x^{2+1}} {2+1} + \frac{2\cdot x^{1+1}} {1+1} + \frac{4 \cdot x^{0+1}} {0+1} </math> |
|||
Gera-se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo. |
|||
:<math> \frac{x^3} {3} + \frac{2\cdot x^2} {2} + 4\cdot x </math> |
|||
Para x = 0 |
|||
:<math> f(a) = 0 </math> |
|||
Para x = 3 |
|||
:<math> \frac{3^3} {3} + \frac{2\cdot 3^2} {2} + 4\cdot 3 </math> |
|||
:<math> f(b) = 30 </math> |
|||
== Aplicação do teorema fundamental do Cálculo== |
|||
[[Imagem:Integral approximations.svg|thumb|right|Aproximações da integral de √''x'' de 0 a 1, com <span style="color:#fec200">■</span> 5 amostras à direita (acima) e <span style="color:#009246">■</span> 12 amostras à esquerda (abaixo)]] |
|||
:<math> \int_{a}^{b} \frac {d}{dx}f(x) dx = f(b) - f(a) </math> |
|||
:<math> \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = \frac{3^3} {3} + \frac{2.3^{2}} {2} + 4.3 - 0 = 3^2 + 3^2 + 12 = 9 + 9 + 12</math> |
|||
:<math> \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = 30 </math> |
|||
== Exemplos de integração == |
|||
Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns: |
|||
:<math> \int_{a}^{b} 1 dx = x|_a^b = (b-a)</math> (Integral da função constante) |
|||
:<math> \int_{a}^{b} x dx = \frac{1}{2} x^2|_a^b = \frac{1}{2}(b^2-a^2)</math> (Integral da função f(x) = x ) |
|||
Por definição a barra <math> f(x) |_a^b </math> é utilizada com o significado da diferença <math> f(b) - f(a)</math> |
|||
== Definições de integral == |
|||
Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo |
|||
* [[Soma de Riemann]] |
|||
* [[Integral de Riemann]] |
|||
* [[Integral de Lebesgue]] |
|||
* [[Integral de Riemann-Stieltjes]] |
|||
* [[Integral de Henstock–Kurzweil|Integral de Henstock–Kurzweil ou integral de Gauge]] |
|||
=={{Ver também}}== |
|||
*[[Derivada]] |
|||
*[[Tábua de integrais]] |
|||
*[[Primitiva]] |
|||
*[[Integração numérica]] |
|||
*[[Métodos de integração]] |
|||
*[[Integral múltipla]] |
|||
== Notas == |
|||
<references/> |
|||
== Referências == |
|||
* STEWART, James. '''Cálculo - volume I'''. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2002. 4ª edição. ISBN 85-221-0235-X. |
|||
{{Funções}} |
|||
{{Link FA|mk}} |
|||
{{Link FA|ca}} |
|||
[[Categoria:Cálculo integral]] |
|||
{{Link FA|eu}} |
|||
[[am:አጠራቃሚ]] |
|||
[[an:Integración]] |
|||
[[ar:تكامل]] |
|||
[[az:İnteqral]] |
|||
[[be:Інтэграл]] |
|||
[[bg:Интеграл]] |
|||
[[bn:সমাকলন]] |
|||
[[bs:Integral]] |
|||
[[ca:Integració]] |
|||
[[cs:Integrál]] |
|||
[[cy:Integryn]] |
|||
[[da:Integralregning]] |
|||
[[de:Integralrechnung]] |
|||
[[el:Ολοκλήρωμα]] |
|||
[[en:Integral]] |
|||
[[eo:Integralo]] |
|||
[[es:Integración]] |
|||
[[et:Määratud integraal]] |
|||
[[eu:Integral]] |
|||
[[fa:انتگرال]] |
|||
[[fi:Integraali]] |
|||
[[fr:Intégration (mathématiques)]] |
|||
[[gl:Integral]] |
|||
[[he:אינטגרל]] |
|||
[[hi:समाकलन]] |
|||
[[hr:Integral]] |
|||
[[hu:Riemann-integrálás]] |
|||
[[id:Integral]] |
|||
[[io:Integralo]] |
|||
[[is:Heildun]] |
|||
[[it:Integrale]] |
|||
[[ja:積分法]] |
|||
[[ka:ინტეგრალი]] |
|||
[[kk:Интеграл]] |
|||
[[km:អាំងតេក្រាល]] |
|||
[[ko:적분]] |
|||
[[ky:Аныкталбаган интеграл]] |
|||
[[la:Integrale]] |
|||
[[lt:Apibrėžtinis integralas]] |
|||
[[lv:Integrālis]] |
|||
[[mk:Интегрално сметање]] |
|||
[[ml:സമാകലനം]] |
|||
[[mr:संकलन]] |
|||
[[ms:Kamiran]] |
|||
[[mt:L-Integral]] |
|||
[[my:အင်တီဂရေးရှင်း]] |
|||
[[nl:Integraalrekening]] |
|||
[[nn:Integral]] |
|||
[[no:Integral (matematikk)]] |
|||
[[pl:Całka]] |
|||
[[ro:Integrală]] |
|||
[[ru:Интеграл]] |
|||
[[scn:Intiggrali]] |
|||
[[sh:Integral]] |
|||
[[simple:Integral]] |
|||
[[sk:Integrál]] |
|||
[[sl:Integral]] |
|||
[[sq:Integrali]] |
|||
[[sr:Одређени интеграл]] |
|||
[[su:Integral]] |
|||
[[sv:Integral]] |
|||
[[ta:தொகையீடு]] |
|||
[[th:ปริพันธ์]] |
|||
[[tl:Kalkulong integral]] |
|||
[[tr:İntegral]] |
|||
[[uk:Інтегрування]] |
|||
[[ur:تکامل]] |
|||
[[vec:Integral]] |
|||
[[vi:Tích phân]] |
|||
[[wuu:定积分]] |
|||
[[zh:积分]] |
|||
[[zh-min-nan:Chek-hun]] |
|||
[[zh-yue:積分]] |
|||
Revisão das 14h27min de 7 de janeiro de 2013
eu sou o maior