Em matemática, o Método do domínio fictício é um método para encontrar as soluções de uma equação diferencial parcial em um domínio complicado
, substituindo um dado problema em um domínio
por um novo problema em um domínio simples
contendo
Considere uma área
na qual queiramos encontrar a solução
da equação:
![{\displaystyle Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c0b0ba5c10a40e57323474d6386cb2f1fc2d43)
com Condições de fronteira:
![{\displaystyle lu=g(x),x\in \partial D\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e930ae9f4fdbd2b433c40e6075f31db62267b1)
A ideia do método do domínio fictício é basicamente substituir um problema dado em um domínio
, por um novo problema em um simples domínio
contendo
(
). Por exemplo, podemos escolher um paralelepípedo n-dimensional como
.
Problema no domínio
para a nova solução
:
![{\displaystyle L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ec13be8a681f4f162b6570ff737db585c74513)
![{\displaystyle l_{\epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0e7f6d8b50816b1fcdee0f3ea7076cc8e20216)
É necessário levar o problema a uma área estendida para que as seguintes condições sejam satisfeitas:
![{\displaystyle u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606043cef65dd8d371a3c99cb703693f0274d4c8)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb24852c24bd282962f5c26bd8ac11b01146082)
![{\displaystyle u(0)=0,u(1)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e001b1683e7a7400fe431e0159869149b4ae6b)
solução do problema:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93923f90e90cb91fc4004c0552a6fb35e147e36)
O coeficiente descontínuo
e o lado direito da equação anterior obtemos das expressões:
![{\displaystyle k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e456ef06f07163ef06f31734a860ba71133453)
![{\displaystyle (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff45737214013a8e04d59d0de54318086be26a)
![{\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ed748f190f3fc4302de5af5a175f49f0bf9570)
Condições de fronteira:
![{\displaystyle u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dff1b23f61d31def165f2a2ed1a37d3e004e88d)
Condições de conexão no ponto
:
![{\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63ad30d525601e7c1ca6247ded0c299aea46d1f)
onde
significa:
![{\displaystyle [p(x)]=p(x+0)-p(x-0)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881dc4c20d5f3da7dc9179eea4ce569bcd1f3408)
A equação (1) tem solução analítica portanto podemos facilmente obter o erro:
![{\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1753b6d7b35288a87ccb413d50dd8fe0c666cc)
solução do problema:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530ca2fd47e3e6c61194a95eb1b0f9b2bff81c91)
Onde
pegamos como em (3), e a expressão para
![{\displaystyle c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ca55c69f123e4533a4ed38c4e3fd628896e836)
como condições de fronteira para a equação (4) assim como para (2).
Condições de conexão do ponto
:
![{\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf31b2d4d05429863841e47193564a63b8e4a9f)
Erro:
![{\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415fd0de098ebba569f61848e516ad1aac209d82)
- P.N. Vabishchevich, The Method of Fictitious Domains in Problems of Mathematical Physics, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
- Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Preprint CC SA USSR, 68, 1979.
- Bugrov A.N., Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Mathematical model of fluid flow, Novosibirsk, 1978, p. 79–90