Método de Newton–Raphson: diferenças entre revisões

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As três primeiras iterações do método de Newton.

Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-se um ponto qualquer da função, calcula-se a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abcissas e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}

,

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e $f'(x_{n})$ é a derivada da função f em x_n.

Para que se obtenha sucesso na iteração deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim de escolher um valor estimado inicial adequado, para que a convergência de (x_n) seja propícia. Para tanto existem apenas quatro condições a serem satisfeitas:

O intervalo delimitado deve conter a raiz de f;
A função f deve ser diferenciável em todo o intervalo;
A primeira derivada no intervalo não deve trocar de sinal;
A segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal.

Uma vez delimitado um intervalo que cumpra tais exigências, escolhe-se para o valor-inicial o ponto mais à esquerda se o produto da primeira pela segunda derivada for negativo, ou escolhe-se o ponto mais à direita se ocorrer o contrário, se o produto for positivo.

Este é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar sucessivas melhores aproximações de raizes (ou zeros) de uma determinada função real. A convergência frequentemente é rápida, em especial se a estimativa inicial (ou chute inicial) está "suficientemente próximo" da raiz da função. O método é atribuido a Sir Isaac Newton (1643-1727) e Joseph Raphson (1648-1715).

Em 1984, Allan J. Macleod num artigo da International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, mostrou que o método iterativo de Newton-Raphson para equações não lineares pode ser considerado um membro da família geral de um parâmetro de métodos de segunda ordem ^[1].

Referências

↑ A.J. Macleod. «"A generalization of Newton-Raphson"» (em inglês). Int. J. Math. Ed. Sci. Tech., v.15, n.1 January 1984, pages 117-120

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Ligações externas

Roots of a function - Rosetta Code - implementações em diversas linguagens de programação

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[1] A.J. Macleod. «"A generalization of Newton-Raphson"» (em inglês). Int. J. Math. Ed. Sci. Tech., v.15, n.1 January 1984, pages 117-120

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-Em [[análise numérica]], o '''método de Newton''' (ou '''método de Newton-Raphson''') tem o objetivo de estimar as raízes de uma [[função]]. Para isso, toma-se um ponto qualquer da função, calcula-se a equação da [[tangente]] ([[derivada]]) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das [[abcissa]]s, calcula-se o valor da função nesse ponto, e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:
+Em [[análise numérica]], o '''método de Newton''' (ou '''método de Newton-Raphson''') tem o objetivo de estimar as raízes de uma [[função]]. Para isso, toma-se um ponto qualquer da função, calcula-se a equação da [[tangente]] ([[derivada]]) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das [[abcissa]]s  e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:
 :<math>x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}</math>,