Modelo de aritmética não padrão

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Na lógica matemática, um modelo da aritmética não-padrão é um modelo da (primeira-ordem) aritmética de Peano que contém números não-padrões. O modelo padrão da aritmética consiste do conjunto dos números naturias {0,1,2,3,...}. Os elementos de qualquer modelo da aritmética de Peano são ordenados linearmente e possuem um segmento isomórfico inicial aos números naturais comuns. Um modelo não-padrão é um modelo que não possui elementos adicionais fora do seu segmento inicial. A construção de tais modelos se dá por conta de Thoralf Skolem (1934).

Existência[editar | editar código-fonte]

Existem vários métodos que podem ser usados para provar a existência de um modelo aritmético não-padrão.

Do teorema da compaccidade[editar | editar código-fonte]

A existência de modelos aritméticos não-padrões pode ser demonstrada através de uma aplicação do teorema da compaccidade. Para fazer isso, um conjunto de axiomas P* é definido em uma linguagem incluindo a linguagem da aritmética de Peano com mais um símbolo de constante x. Os axiomas consistem dos axiomas da aritmética de Peano mais um conjunto infinito de axiomas: para cada numeral n, o axioma x > n é incluído. Qualquer subconjunto finito desses axiomas são satisfeitos por um modelo que é o modelo padrão da aritmética mais a constante x interpretada como algum número maior do que qualquer número mencionado no subconjunto finito de P*. Desse modo, pelo teorema da compaccidade existe um modelo que satisfaz todos os axiomas de P*. Já que qualquer modelo de P* é um modelo de P (uma vez que um modelo de um conjunto de axiomas obviamente também é um modelo para qualquer subconjunto daquele conjunto de axiomas), nós temos que nosso modelo estendido é também um modelo para os axiomas de Peano. O elemento desse modelo que corresponde a x não pode ser um número padrão, pois como dito ele é maior do que qualquer número padrão.

Usando métodos mais complexos, é possível construir modelos não-padrões que possuem propriedades mais complicadas. Por exemplo, existem modelos da aritmética de Peano em que o teorema de Goodstein falha. Pode ser provado na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel que o teorema de Goodstein funciona para qualquer modelo padrão, portanto um modelo em que o teorema de Goodstein falha tem que ser não-padrão.

Dos teoremas da incompletude[editar | editar código-fonte]

Os teoremas da incompletude de Gödel também implicam a existência de modelos da aritmética não-padrão. Os teoremas da incompletude mostram que uma dada sentença G, as sentenças de Gödel da aritmética de Peano, não é nem provável nem não-provável na aritmética de Peano. Pelo teorema da completude de Gödel, isso significa qu G é falsa em algum modelo da aritmética de Peano. Contudo, G é verdade no modelo padrão da aritmética, e portanto qualquer modelo em que G é falso tem que ser um modelo não-padrão. Assim, satisfazer ~G é uma condição suficiente para um modelo ser não-padrão. Esta não é uma condição necessária, contudo; para qualquer sentença G de Gödel, existem modelos da artimética em que G é verdade para todas as cardinalidades.

Insalubridade aritmética para modelos com ~G verdadeira[editar | editar código-fonte]

Assumindo que a aritmética é consistente, a aritmética com ~G também é consistente. Porém, uma vez que ~G significa que a aritmética é inconsistente, o resultado não será ω-consistente (porque ~G é falso e isso viola a ω-consistência).

De um ultraproduto[editar | editar código-fonte]

Um outro modo de construir um modelo não-padrão é através de um ultraproduto. Uma construção típica usa todas as sequências dos números naturais, .Identificar duas sequências se elas são compatíveis com um conjunto de índices, os quais são membros de um ultrafiltro fixo não-principal. O resultado é um modelo aritmético não-padrão. Isso pode ser identificado com números hipernaturais.

Estrutura de modelos não-padrões contáveis[editar | editar código-fonte]

Os modelos de ultraprodutos são incontáveis (já que são baseados em um produto infinito de , portanto, sequências infinitas de números). Contudo, pelo teorema de Löwenheim–Skolem têm que existir modelos da aritmética não-padrões que são contáveis. Uma maneira de definir tal modelo é usando a lógica de segunda ordem.

Qualquer modelo aritmético contável não-padrão tem tipo de ordenação ω + (ω* + ω) · η, onde ω é o tipo da ordenação dos números naturais padrões, ω* é a ordenação dual (uma sequência decrescente infinita) e η é o tipo da ordenação dos números racionais. Em outras palavras, um modelo não-padrão contável começa com uma sequência crescente infinita (os elementos padrões do modelo). Isso é seguido por uma coleção de "blocos", cada um de tipo de ordenação ω* + ω, o tipo de ordenação dos inteiros. Esses blocos são ordenados densamente com o tipo de ordenação dos racionais. O resultado segue facilmente pois é fácil ver que números não-padrões têm que ser densos e ordenados linearmentes sem fim, e os racionais são os únicos contáveis linearmente densos ordenados sem fim.

Logo, o tipo de ordenação dos modelos não-padrões é conhecido. Contudo, as operações aritméticas são muito mais complicadas.

É fácil ver que as estruturas matemáticas diferem de ω + (ω* + ω) · η. Por exemplo, se u esta no modelo então m*u também está, para qualquer m, n no segmento inicial N, u2 ainda é maior do que m*u para qualquer m padrão finito.

Você também pode definir "raízes quadradas" como sendo o menor v tal que v2 > 2*u. É fácil ver que esses não podem estar dentro dos números finitos racioas múltiplos de u. Por métodos análagos para análises não-padrões você também pode usar a aritmética de Peano para definir uma aproximação mais próxima de múltiplos irracionais de um número não-padrão u tal como o mínimo v com v > π*u (esses podem ser denifidos na aritmética de Peano usando aproximações racionais finitas não-padrões de π mesmo que o próprio π não possa ser).

Isso mostra que uma estrutura matemática de um modelo não-padrão contável é mais complexo do que a estrutura dos racionais. Contudo, existe mais que isso.

O teorema de Tennenbaum mostra que não existe modelo contável não-padrão da aritmética de Peano o qual, ou a adição ou a multiplação são computáveis. Esse resultado, primeiro obtido por Stanley Tennenbaum em 1959, impõe uma limitação severa na habilidade de descrever concretamente as operações aritméticas de um modelo contável não-padrão.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Boolos, G., and Jeffrey, R. 1974. Computability and Logic, Cambridge University Press. ISBN 0-521-38923-2
  • Skolem, Th. (1934) Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen. Fundam. Math. 23, 150–161.

Citações[editar | editar código-fonte]

  1. ^ Andrey Bovykin and Richard Kay[ttp://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/papers/survey6.pdf Order-types of models of Peano arithmetic: a short survey]June 14, 2001
  2. ^ Andrey BovykinOn order-types of models of arithmetic thesis submitted to the University of Birmingham for the degree of Ph. D. in the Faculty of Science 13th April 2000
  3. ^ - LINEAR ORDERS, DISCRETE, DENSE, AND CONTINUOUS - includes proof that Q is the only countable dense linear order.