Modelo Erdős–Rényi: diferenças entre revisões
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Existem duas variantes relacionados do modelo de grafos aleatórios ''Erdõs-Rényi''(ER). |
Existem duas variantes relacionados do modelo de grafos aleatórios ''Erdõs-Rényi''(ER). |
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* No modelo o <math>G ( n , |
* No modelo o <math>G ( n , m )</math> grafo é escolhido de forma uniforme aleatória da coleção de todos os grafos o qual tem nós e extremidades. Por exemplo, no modelo <math>G ( 3, 2 )</math> cada uma das três possibilidades de grafos de três vértices e duas extremidades são incluídos com uma probabilidade <math>{1\over 3}</math>. |
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*No modelo <math>G ( n , p )</math>, o grafo é construído por nós ligados aleatoriamente. Cada extremidade é incluída no grafo com a probabilidade independentemente de todas as outras extremidades. De forma equivalente, todos os grafos com nós e extremidades têm probabilidade igual a |
*No modelo <math>G ( n , p )</math>, o grafo é construído por nós ligados aleatoriamente. Cada extremidade é incluída no grafo com a probabilidade independentemente de todas as outras extremidades. De forma equivalente, todos os grafos com nós e extremidades têm probabilidade igual a |
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Revisão das 18h57min de 4 de junho de 2013
Hoje em dia existe um grande número de modelos para estruturar redes. Alguns desses modelos são mecanismos, significando que codificam uma série de regras matemáticas e consegue-se produzir certo tipo de redes. A finalidade destes modelos é frequentemente representada por certas relações de causa e efeito. Normalmente, esses modelos têm um único mecanismo dominante, projetado para produzir certos tipos específicos de topologias padrão.O tipo mais comum de modelo grafo aleatório é o modelo Erdõs-Rényi (muitas vezes designado por grafo de Poisson aleatório ou grafo aleatório Binomial)[1]. Na teoria de grafos, o modelo Erdõs-Rényi é um dos dois modelos estritamente relacionados para gerar grafos aleatórios, que inclui o limite entre cada par de nós com igual probabilidade, independentemente das extremidades. O nome do modelo surgiu dos matemáticos Paul Erdõs e Alfréd Rényi, que primeiro introduziram um dos dois modelos em 1959, o outro modelo foi introduzido de forma independente e contemporânea por Edgar Gilbert. Estes modelos podem ser utilizados nos métodos probabilísticos para provar a existência dos grafos de forma a satisfazer várias propriedades, ou fornecer definição rigorosa o que significa a propriedade para manter quase todos estes grafos.
Definição
Existem duas variantes relacionados do modelo de grafos aleatórios Erdõs-Rényi(ER).
- No modelo o grafo é escolhido de forma uniforme aleatória da coleção de todos os grafos o qual tem nós e extremidades. Por exemplo, no modelo cada uma das três possibilidades de grafos de três vértices e duas extremidades são incluídos com uma probabilidade .
- No modelo , o grafo é construído por nós ligados aleatoriamente. Cada extremidade é incluída no grafo com a probabilidade independentemente de todas as outras extremidades. De forma equivalente, todos os grafos com nós e extremidades têm probabilidade igual a
O parâmetro neste modelo pode ser pensado como a função ponderada; como aumenta de até o modelo torna-se muito mais susceptível a incluir grafos com mais extremidades e muito menos susceptível de incluir com menos extremidades. Em particular, o caso corresponde ao caso onde todos grafos nos vértices são escolhidos com igual probabilidades. O comportamento dos grafos aleatórios são muitas vezes desproporcionados no caso o é número de vértices, que tende para infinito. Apesar e poderem ser fixos neste caso, também podem ser funções dependentes de . Quase todos os grafos com estão interligados.
Significa que,
como tende para infinito, a probabilidade deste grafo nos vértices com extremidades e probabilidade é ligada, tende para .
Comparação entre os dois modelos
O número esperado de extremidades em é demonstrada pela lei dos grandes números em que qualquer grafo tem aproximadamente muitas extremidades (desde que o número esperado de extremidades tenda para infinito). Por conseguinte, uma heurística se pn2 → ∞ deve comportar-se de forma semelhante a com o como aumenta. Para muitas propriedades do grafo. Se P é qualquer propriedade que é função monótona de um grafo em relação ao sub grafo ordenado (significa que, se A é um sub grafo de B e A satisfaz P então B satisfará P), então na afirmação “ P vale para quase todos os grafos na ” e “ P vale para quase todos os grafos em que ” são equivalentes (previsto Pn2→ ∞). Por exemplo, se P é a propriedade de ser ligado, ou se P contém propriedade de um ciclo Hamiltiano. No entanto, isto não é necessariamente para assegurar as propriedades de funções não-monótonas (por exemplo, a propriedade de possuir um número par de extremidades). Na prática, o modelo é mais vulgarmente utilizado nos dias de hoje, em parte, devido à facilidade de análise autorizado pela independência das extremidades.
Propriedades do G(n, p)
Com a notação abaixo, a representação gráfica no tem em média extremidades. A distribuição do grau de qualquer vértice é binomial:[2]
Onde é o número total de vértices na representação do grafo. Desde
Esta distribuição é designada por distribuição Poisson para grande e
Num artigo de 1960, Erdõs e Rényi[3] descreveram o comportamento de muito preciso para vários valores de Estes resultados incluíam:
- Se então o grafo em certamente não têm componentes ligados de tamanho maior do que .
- Se então o grafo em certamente têm um maior componente cujo tamanho é da ordem n2/3.
- Se np → c > 1, onde é a constante, então o grafo no certamente tem um único componente gigante que contem uma fracção positiva dos vértices. Nenhum outro componente irá conter mais de vértices.
- Se , então o grafo em certamente contem vértices isolados, e, assim, ser desligada.
- Se , então o grafo em praticamente certo que será ligado.
trata-se de um limiar para a ligação acentuada de .
Outras propriedades do grafo podem ser descritas com precisão com a tender para o infinito. Por exemplo, existe um (aproximadamente igual a 2 log2(n)) de tal modo que o maior clique em tem quase certamente qualquer tamanho ou .
Teoria da Percolação
A teoria de percolação examina um grafo finito ou infinito e elimina extremidades (ou ligações) de forma aleatória. Assim, o processo "Erdős-Rényi" é, de facto, uma ligação não ponderada de percolação no grafo completo. (Um refere-se à percolação em que os nós e/ou ligações são eliminados com pesos heterogéneos como percolação ponderada). Como a teoria de percolação tem muito das suas origens na física, grande parte da pesquisa feita foi sobre malhas em espaços euclidianos. A transição a partir do qual os grafos com componente de maiores dimensões é análogo ao componente de pequenas dimensões, mas para malhas o ponto de transição é difícil de determinar. Os físicos muitas vezes referem-se ao estudo da grafo completo como uma teoria de campo médio. Assim, o processo Erdős-Rényi é o caso mean-field de percolação. Alguns trabalhos significativos também foram feitos sobre percolação em grafos aleatórios. De um ponto de vista físico este ainda seria um modelo de mean-field, de modo a justificação da pesquisa ser muitas vezes formulada em termos da robustez do grafo, visto como uma rede de comunicação. Dado um grafo aleatório de n ≫ 1 os nós com um grau médio <k>. Elimina aleatoriamente uma fracção 1 − p′ de nós e deixar apenas uma fracção a partir da rede. Existe um limiar de percolação crítico abaixo do qual a rede torna-se fragmentada enquanto acima de um componente ligado de grandes dimensões de ordem existe. O tamanho relativo do componente gigante, P ∞, é dada pela[4] [5][6][7]
Pressupostos
Ambas hipóteses principais do modelo (extremidades que são independentes e cada lado que é igual probabilidade) pode ser inadequado para a modelação de fenómenos reais. Em particular, um grafo Erdős-Rényi não tem pontas pesadas, como acontece em muitas redes reais. Além disso, tem baixo agrupamento, ao contrário de muitas redes sociais. Para obter alternativas a modelação populares, existe Barabási-Albert e modelo Watts e Strogatz . Note-se que estes modelos alternativos não são processos de percolação, mas representam um modelo de crescimento e de interligação, respetivamente.[8]
Referências
- ↑ Aaron Clauset, Inference, Models and Simulation for Complex Systems,Lecture 13, CSCI 7000-001, 18 October 2011
- ↑ Newman, Mark. E. J.; S. H. Strogatz and D. J. Watts (2001). «Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications». Physical Review E. 64 (026118). doi:10.1103/PhysRevE.64.026118 ,
- ↑ Erdős, Paul; A. Rényi (1960). «On the evolution of random graphs» (PDF). Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences. 5: 17–61 The probability p used here refers there to
- ↑ Bollobás, B. (2001). Random Graphs 2nd ed. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79722-5
- ↑ Bollobás, B.; Erdős, P. (1976). «Cliques in Random Graphs». Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 80 (3): 419–427. doi:10.1017/S0305004100053056
- ↑ Erdős, P.; Rényi, A. (1959). «On Random Graphs. I» (PDF). Publicationes Mathematicae. 6: 290–297
- ↑ Erdős, P.; Rényi, A. (1960). «The Evolution of Random Graphs». Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int. Közl. 5: 17–61
- ↑ S. V. Buldyrev, R. Parshani, G. Paul, H. E. Stanley, S. Havlin (2010). «Catastrophic cascade of failures in interdependent networks». Nature. 464 (7291): 1025–8. doi:10.1038/nature08932