Mostrar código-fonte de Número triangular

{{fusão|Termial}}
[[Imagem:Números triangulares.png|thumb|217x217px|Os primeiros seis números triangulares.]]
Um '''número triangular''' é um [[número natural]] que pode ser representado na forma de um [[triângulo equilátero]]. O ''n''-ésimo número triangular pode ser visto como o número de pontos de uma forma triangular com lado formado por ''n'' pontos, o que equivale à soma dos primeiros ''n'' números naturais.

A sequência dos números triangulares {{OEIS|A000217}}, começando pelo ''0''-ésimo termo, até o 40-ésimo é:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820...

Tal conceito é utilizado de maneira mais generalizada em [[progressão aritmética|progressões aritméticas]].

== Fórmula ==
Em geral, o ''n''-ésimo número triangular é dado por:<math>T_n=\sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +(n-2)+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}={n+1 \choose 2}</math>

A primeira equação pode ser demonstrada por uma prova visual.<ref>{{citar web|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/triangular-numbers.html|titulo=Triangular Number Sequence|data=|acessodata=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref> Para cada número triangular <math>T_n</math>,imagine um arranjo de objetos correspondente ao número triangular e que forme metade de um quadrado, como na figura ao lado.
[[Ficheiro:Example of a triangular number.png|miniaturadaimagem|147x147px|Exemplo de arranjo de objetos formando metade de um quadrado.]]
Ao se criar uma cópia esse arranjo e juntá-la ao original, forma-se uma figura retangular com o dobro de objetos e de dimensões <math>n(n+1)</math>, que também é o número de objetos na figura. Evidentemente, o número triangular sempre equivalerá à metade do número de objetos do retângulo, ou seja:

<math>T_n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Segue o exemplo para <math>T_4</math>:

<math>2T_4 = 4(4+1) = 20</math> (soma dos pontos amarelos e verdes) implica <math>T_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10</math>
[[Ficheiro:Illustration of Triangular Number T 4 Leading to a Rectangle.png|miniaturadaimagem|Retângulo formado pelo quarto número triangular (soma dos pontos verdes) e sua cópia.]]
A primeira equação também pode ser demonstrada usando-se o  [[Indução matemática|princípio da indução]].<ref>{{citar web|url=http://wiki.math.ucr.edu/index.php/An_Introduction_to_Mathematical_Induction:_The_Sum_of_the_First_n_Natural_Numbers,_Squares_and_Cubes.|titulo=An Introduction to Mathematical Induction: The Sum of the First n Natural Numbers, Squares and Cubes. - UCR Math Wiki|data=|acessodata=2018-08-26|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref> Primeiro, verifica-se a validade da equação para ''n'' = 1:

<math>T_1 = \frac{1(1+1)}{2} =1</math>

Depois, assumindo a veracidade da hipótese para ''n'' = (n-1), verifica-se a validez para ''n'' = ''n'' para  a confirmação a tese.

<math>T_{(n-1)} = \frac{[(n-1)+1](n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = \sum_{k=1}^{(n-1)}k</math><p><math>T_n =\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{(n-1)}k\, +\,n = \frac{n(n-1)}{2}\,+\,n = \frac{n^2+\,n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}</math></p>É dito que [[Carl Friedrich Gauss]] encontrou essa relação em sua juventude.<ref>{{citar web|url=http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/curiosidades/curiosidadesmatematicas-html/audio-gauss-br.html|titulo=Curiosidades matemáticas - Gauss|data=|acessodata=2018-08-26|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref><ref>{{citar web|url=http://www.gauss-goettingen.de/gauss_en.php?navid=2&supnavid=1|titulo=GENIAL - GAUSS - GÖTTINGEN|data=|acessodata=2018-08-26|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref> Independentemente da veracidade da história, Gauss não foi o primeiro a lidar com números triangulares; alguns pensam que seus estudos remontam à época dos [[pitagóricos]] no século V a.C. a partir de seus estudos com [[Número figurado|números figurados]].<ref>{{citar web|url=http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.98/matt1.html|titulo=Página da web cita "AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS"|data=|acessodata=26/08/2018|publicado=Mathcentral|ultimo=Eves|primeiro=Howard}}</ref>

== Relação com outros números figurados ==
<p>Os números triangulares tem uma variedade de relações com os [[Número figurado|número figurados]].</p>

* <p>De forma simples, a soma de dois números triangulares consecutivos resulta em um número quadrado:</p><math>T_n + T_{(n-1)} = \overbrace{\frac{n^2\,+\,n}{2}}^{T_n}\, +\, \overbrace{\frac{(n-1)^2}{2}\,+\,\frac{n-1}{2}}^{T_{(n-1)}}
= \Biggl(\frac{n^2}{2}\,+\,\frac{n}{2}\Biggr)\, +\,\Biggl(\frac{{}n^2}{2}\,-\,\frac{n}{2}\Biggr) \,=
n^2\, = \Bigl(T_n - T_{(n-1)}\Bigr)^2</math>

Alternativamente, o mesmo fato pode ser demonstrado visualmente:

6 + 10 = 16    [[Ficheiro:Square_number_16_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg]]                          10 + 15 = 25    [[Ficheiro:Square_number_25_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg]] 
[[Ficheiro:Nicomachus_theorem_3D.svg|miniaturadaimagem|Um quadrado cujo lado é um número triangular pode ser dividido em quadrados e meios-quadrados cujas áreas formam cubos. Isso prova que o quadrado do ''n''-ésimo número triangular é igual à soma dos primeiros ''n'' cubos.]]

* Existem infinitos números que são concomitantemente triangulares e quadrados, como, por exemplo, 1, 36, 1225. Alguns deles podem ser obtidos de forma recursiva a partir de:

<math>S_{(n+1)} = 4S_n(8S_n +1)</math>com <math>S_1 = 1.</math>

* ''Todos'' os números que são triangulares e quadrados podem ser encontrados através da forma recursiva:

<math>S_n = 34S_{(n-1)} -S_{(n-2)} +\, 2</math>com <math>S_0 = 0</math> e  <math>S_1 =1.</math>

* Além disso, o quadrado do ''n''-ésimo número triangular é a soma dos cubos dos inteiros 1 a ''n''.  Isso pode ser expressado como:

<math>\sum_{k=1}^nk^3 = \Biggl(\sum_{K=1}^nk\Biggr)^2.</math>

* A soma dos primeiros ''n'' números triangulares é o ''n''-ésimo [[número tetraédrico]], que tem como fórmula:

<math>\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.</math>

* De modo mais geral, a diferença entre o ''n''-ésimo [[número poligonal]] <math>P(s,n+1)</math>e o ''n''-ésimo número poligonal <math>P(s,n)</math>resulta no ''(n-1)''-ésimo número triangular.

<math>P(s,n+1) - P(s,n) = T_{(n-1)} = \frac{n(n-1)}{2}.</math>

Por exemplo, o sexto [[número heptagonal]] (81) menos o sexto [[número hexagonal]] (66) resulta no quinto número triangular (15) - partindo do ponto de que o primeiro número triangular é 1.     

* Conhecendo os números triangulares, é possível contar qualquer [[número poligonal centrado]]; o ''n''-ésimo número ''k''-gonal é obtido pela fórmula:

<math>Ck_n = kT_{(n-1)} + 1</math>,sendo <math>T</math>um número triangular.

* Outra relação com números figurados é: a diferença entre dois números triangulares é um [[número trapezoidal]].

== Outras propriedades ==

* Números triangulares são o caso de primeiro grau da [[fórmula de Faulhaber]].

* Números triangulares alternantes (1, 6, 15, 28, ...) são números hexagonais.

* Todo [[número perfeito]] é triangular (e também hexagonal) e pode ser obtido pela fórmula:

<math>M_p2^{(p-1)} = \frac{M_p(M_p +1)}{2} = T_{M_p}</math>, onde ''p'' é um [[primo de Mersenne]]. Não se conhece nenhum número ímpar perfeito, portanto todos os números perfeitos pares são triangulares.

* Na [[base 10]], a [[Soma repetida dos dígitos|raiz digital]] de um número triangular <math>\neq0</math> é sempre 1, 3, 6 ou 9. Consequentemente todo número triangular ou é divisível por 3 ou tem resto 1 quando divido por 9.

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

…

Se um número triangular não é divisível por 3, existe uma propriedade mais específica que mostra que ao ser divido por 27, este número terá resto 1, ou ao ser divido por 81, este número terá resto 10.

* O padrão que a raiz digital dos números triangulares obedece se repete a cada nove termos, como foi mostrado acima: "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

O contrário da primeira afirmação nem sempre é verdadeiro. O número 12, por exemplo, não é triangular, mas é divisível por 3 e tem raiz digital 3.

* Se ''x'' é um número triangular, então {{Math|''ax'' + ''b''}} também é triangular, sendo {{Math|''a''}} um número quadrado ímpar e sendo {{Math|''b'' {{=}} {{sfrac|''a'' − 1|8}}}}, {{Math|''b''}} sempre será um número triangular, pois <math>8T_n + 1 = (2n+1)^2</math>, o que implica que todos os quadrados ímpares são revelados pela multiplicação de um número triangular por 8, adicionando-se 1.

Os primeiros pares dessa forma (excetuando-se 1x + 0) são: {{Math|''9x'' + ''1'', ''25x'' + ''3'', ''49x'' + ''6'', ''81x'' + ''10'', ''121x'' + ''15'', ''169x'' + ''21'', ''...etc.''}} Dado

{{Math|''x''}} = <math display="inline">T_n</math>, essas fórmulas geram {{Math|''T''<sub>3''n'' + 1</sub>, ''T''<sub>5''n'' + 2</sub>, ''T''<sub>7''n'' + 3</sub>, ''T''<sub>9''n'' + 4</sub>,}} e assim por diante.

* A soma dos recíprocos de todos números triangulares diferentes de zero é:

<math>\!\ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {{n^2 + n} \over 2}} = 2\sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n^2 + n}} = 2 .</math>

Isso pode ser mostrado pela soma de uma [[série telescópica]]:

<math>\!\ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n(n+1)}} = 1 .</math>

* Outras duas fórmulas relativas aos números triangulares são:

<math>T_{a+b} = T_a + T_b + ab</math>

e

<math>T_{ab} = T_aT_b + T_{a-1}T_{b-1},</math>

que podem ser estabelecidas ao se observar um padrão de pontos (ver acima) ou algebricamente.

* Em 1796, o matemática alemão, [[Carl Friedrich Gauss]], descobriu que todo inteiro positivo pode ser representado pela soma de três números triangulares (possivelmente incluindo {{Math|''T''<sub>0}} = 0), escrevendo em seu diário suas famosas palavras "[[Eureka (exclamação)|ΕΥΡΗΚΑ]]! num = Δ + Δ + Δ". Perceba que o teorema não implica que os números sejam diferentes ou que a solução com três números diferentes de zero deva existir. Esse é um caso do [[teorema do número poligonal de Fermat]].

* O maior número triangular da forma {{Math|2<sup>''k''</sup> − 1}} é 4095 (ver [[Equação de Ramanujan-Nagell]]).

* [[Wacław Sierpiński|Wacław Franciszek Sierpiński]] propôs a pergunta da existência de quatro números triangulares em [[progressão geométrica]]. O matemático polonês [[Kazimierz Szymiczek]] conjecturou que a existência desses números seria impossível; em 2007 a [[conjectura]] foi provada por Fang e Chen.<ref>{{citar web|url=http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h19/h19.pdf|titulo=Triangular numbers in geometric progression|data=12/04/2007|acessodata=27/08/2018|publicado=Chen, Fang|ultimo=|primeiro=}}</ref><ref>{{citar web|url=http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h57/h57.pdf|titulo=None existence of a geometric progression that countains four triangular numbers|data=20/12/2007|acessodata=27/08/2018|publicado=|ultimo=Fang|primeiro=Jin-Hui}}</ref>

* Fórmulas que envolvem um inteiro como a soma de números triangulares estão conectadas pela [[função teta]], em particular a [[função teta de Ramanujan]].<ref>{{citar periódico|ultimo=Liu|primeiro=Zhi-Guo|data=01/12/2003|titulo=An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers|url=https://link.springer.com/article/10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae|jornal=The Ramanujan Journal|acessodata=27/08/2018}}</ref>

== Aplicações ==
O número triangular <math>T_n</math>resolve o '''problema do aperto de mão''', que pergunta o número de apertos de mão em uma sala com ''n + 1'' pessoas, sendo que cada pessoa cumprimenta outra apenas uma vez.

Um modo de se calcular a [[depreciação]] de um ativo é o [[Depreciação|método da soma dos algarismos dos anos]], que envolve encontrar {{Math|''T''<sub>''n''}} , sendo {{Math|''n''}} os anos de vida útil do ativo. Cada ano o item perde {{Math|(''b'' − ''s'') × {{sfrac|''n'' − ''y''|''T''<sub>''n''</sub>}}}} , onde {{Math|''b''}} é o valor inicial do item, {{Math|''s''}} é o valor de salvamento final, {{Math|''n''}} a vida útil do item, e {{Math|''y''}} o ano na tabela de depreciação.Usando este método, um item com {{Math|''n''}} = 4 anos irá perder <math display="inline">\frac{4}{10}</math>do seu valor "perdível" no primeiro ano, <math display="inline">\frac{3}{10}</math>no segundo, <math display="inline">\frac{2}{10}</math> no ano seguinte e <math display="inline">\frac{1}{10}</math>no último ano, totalizando uma depreciação total de <math display="inline">\frac{10}{10}</math>do seu valor perdível.

== Raízes triangulares e teste de identificação ==
Por analogia à [[raiz quadrada]] de ''x'', é possível definir a raiz triangular positiva de ''x'' desde que este seja um número triangular <math>T_n = x:</math>

<math> \qquad n =\frac{\sqrt{8x+1} -1}{2} </math>

que deriva do [[algoritmo]] de resolução de [[Equação quadrática|equações quadráticas]]. Logo, um inteiro {{Math|''x''}} é triangular se e somente se {{Math|''8x'' + ''1''}} for um quadrado. De modo equivalente, se a raiz triangular positiva ''n'' de ''x'' for um número inteiro, então ''x'' é o ''n''-ésimo número triangular.

== Ver também ==
* [[Número poligonal]]
* [[Número quadrado]]
*[[Número tetraédrico]]
* [[Quadrado perfeito]]
* [[Número hexagonal]]
*[[Tetraktys]]

{{commonscat}}
== Ligações externas ==
* [http://mathworld.wolfram.com/TriangularNumber.html Número Triangular no mathworld.com]

== Referências ==
<references />{{Séries (matemáticas)}}
{{esboço-matemática}}
{{Portal3|Matemática}}
{{DEFAULTSORT:Numero Triangular}}
[[Categoria:Números figurados]]
[[Categoria:Números inteiros]]