Operador adjunto: diferenças entre revisões
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Em [[matemática]], e, em especial, em [[análise funcional]], um [[operador linear]] em um [[espaço de Hilbert]] pode possuir um '''operador adjunto'''. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da [[matriz transposta conjugada]]. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo. |
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O adjunto de um aperador ''A'' é, por vezes, chamado de '''conjugado Hermitiano''' de ''A'' (após [[Charles Hermite]]) e é denotado por ''A''<sup>*</sup> ou ''A''<sup>†</sup>, sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a [[Notação Bra-ket|notação Bra-ket]]. |
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== Definição para os operadores limitados == |
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Suponha que ''H'' é um [[espaço de Hilbert]], com o [[produto interno]] <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>. Considere uma [[operador linear]] [[função contínua|contínuo]] ''A'' : ''H'' → ''H'' (isso é o mesmo que um [[operador linear limitado]]). |
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Usando o [[teorema da representação de Riesz]], pode-se mostrar que existe um [[operador linear]] [[função contínua|contínuo]] único ''A*'' : ''H'' → ''H'' com a seguinte propriedade: |
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: <math> \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang \quad \mbox{para todos } x,y\in H.</math> |
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Esse operador ''A''* é o adjunto de ''A''. Isto pode ser visto como uma generalização da [[matriz adjunta]]. |
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==Propriedades== |
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Propriedades imediatas: |
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# ''A''** = ''A'' |
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# Se ''A'' é inversível, então assim é ''A''*, com (''A''*)<sup>−1</sup> = (''A''<sup>−1</sup>)* |
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# (''A'' + ''B'')* = ''A''* + ''B''* |
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# (λ''A'')* = λ* ''A''*, onde λ* denota o [[conjugado]] do [[número complexo]] λ |
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# (''AB'')* = ''B''*''A''* |
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Se nós definimos a [[norma operacional]] de ''A'' por |
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:<math> \| A \| _{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \} </math> |
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então |
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:<math> \| A^* \| _{op} = \| A \| _{op} </math>. |
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Além disso, |
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:<math> \| A^* A \| _{op} = \| A \| _{op}^2 </math> |
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O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert ''H'' juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra ''C*''. |
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==Operador Hermitiano== |
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Um determinado operador ''A'' : ''H'' → ''H'' é chamado Hermitiano, ou auto-adjunto, se |
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:<math> A = A^{*} </math> |
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o qual é equivalente à |
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:<math> \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang \mbox{ for all } x,y\in H. </math> |
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Em certo sentido, esses operadores desempenham o papel dos números reais, ''i.e.'', sendo igual ao seu próprio "conjugado". |
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{{mínimo sobre|matemática}} |
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[[sv:Hermiteskt konjugat]] |
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<!-- PRECISA MELHORAR A APRESENTAÇÂO DISTO... |
<!-- PRECISA MELHORAR A APRESENTAÇÂO DISTO... |
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O adjunto de um operador linear <math>T\,</math> , num espaço vetorial <math>V\,</math> munido de produto interno é um operador <math>T^{*}\,</math> tal que: |
O adjunto de um operador linear <math>T\,</math> , num espaço vetorial <math>V\,</math> munido de produto interno é um operador <math>T^{*}\,</math> tal que: |
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Revisão das 16h29min de 9 de abril de 2014