Operador de Hutchinson

Em matemática, no estudo dos fractais, um operador de Hutchinson é a ação coletiva de um conjunto de contrações, chamado sistema de função iterada. A iteração do operador converge para um atrator único, que é o conjunto fixo frequentemente autossimilar do operador.

Definição

Seja ${\displaystyle \{f_{i}:X\to X\ |\ 1\leq i\leq N\}}$ um sistema de função iterado ou um conjunto de contrações de um conjunto compacto $X$ para si mesmo. O operador $S_{0}\subset X$ é definido sobre subconjuntos $H$ como:

$S_{n+1}=H(S_{n})=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S_{n})$

e tomando o limite, a iteração converge para o atrator

$A=\lim _{n\to \infty }S_{n}.$

Propriedades

Hutchinson mostrou em 1981 a existência e singularidade do atrator $A.$. A prova segue mostrando que o operador de Hutchinson é contrativo no conjunto de subconjuntos compactos de $X$ na distância de Hausdorff.

A coleção de funções $f_{i}$ juntamente com a composição formam um monóide. Com N funções, pode-se visualizar o monóide como uma árvore N-ária completa ou uma árvore de Cayley.

Referências

1. Hutchinson, John E. (1981). "Fractals and self similarity". Indiana Univ. Math. J. 30 (5): 713–747. doi:10.1512/iumj.1981.30.30055.
2. Barnsley, Michael F.; Stephen Demko (1985). "Iterated function systems and the global construction of fractals". Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 399 (1817): 243–275.