Paradoxo dos gêmeos

Predefinição:Portal-filosofia O Paradoxo dos Gêmeos, ou Paradoxo de Langevin, é um experimento mental envolvendo a dilatação temporal, uma das conseqüências da Relatividade restrita. Nele, um homem que faz uma viagem ao espaço numa nave de grande velocidade, voltará em casa mais novo que seu gêmeo que ficou.

Da dilatação temporal

Ver artigo principal: Dilatação do tempo

A Relatividade restrita prevê que, dado um referencial inercial S e um outro referencial inercial S' tal que S' se move com velocidade constante v em relação a S, por meio de uma Transformação de Lorentz entre referenciais, encontramos a relação entre as coordenadas x,y,z e t do sistema S e as coordenadas x',y',z' e t' do sistema S' .

Usando a transformação de Lorentz para o tempo, obtemos

$\Delta t={\frac {t'-t_{0}'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

Como v é obrigatoriamente menor que c, temos que, para o corpo em movimento, o tempo corre mais lentamente do que para o corpo em repouso.

Do enunciado

Sejam dois gêmeos A e B idênticos, estando o irmão A em uma nave espacial na qual ele viajará a uma velocidade muito próxima de c (velocidade da luz) - enquanto o outro, B, permanece em repouso na Terra. Para B, a nave está se movendo, e por conta disso ele pode afirmar que o tempo está correndo mais lentamente para seu irmão A que está na nave.

Analogamente, A vê a Terra se afastar, pelo que ele pode, da mesma forma, afirmar que o tempo corre mais lentamente para B.

Quando a nave retornar à Terra, qual dos dois efetivamente estará mais jovem?

Da solução

Em primeiro lugar, o enunciado parte de uma premissa errada. No quadro da relatividade restrita, a simultaneidade de acontecimentos não é garantida entre referenciais movendo-se um em relação ao outro, logo, não faz sentido comparar o correr do tempo para o gêmeo A com o correr do tempo para o gêmeo B sem referir qual o referencial em que essa comparação está a ser feita.

O que o gêmeo B pode afirmar é que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão A quando medido no seu referencial (de B). Do mesmo modo, o gêmeo A pode afirmar que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão B quando medido no seu referencial (de A). A situação dos dois gêmeos é simétrica enquanto cada qual estiver no seu referencial inercial.

Mas existe uma quebra de simetria fundamental no problema: somente o irmão B pode afirmar que esteve todo o tempo em um mesmo referencial inercial, a Terra, enquanto que o irmão A saiu do referencial inercial Terra e foi para um referencial movendo-se a velocidade constante em relação ao primeiro; mais tarde, teve de inverter o sentido do movimento (outra mudança de referencial inercial) e, finalmente, abrandar e regressar ao referencial em que se encontrava à partida (uma terceira mudança de referencial inercial).

Assim, a comparação do correr do tempo pode ser feita no referencial inercial da Terra - que foi onde B sempre esteve e de onde A partiu e chegou - e conclui-se que B é mais velho do que A.

Estas mudanças de referencial inercial implicam uma aceleração, e A, enquanto acelerado, encontra-se num referencial não-inercial.

Dê a cada gêmeo um exemplar de um mesmo livro. Quem terá lido mais páginas ao final do experimento? Isso põe fim ao "paradoxo" ... O tempo não depende do indivíduo ...

Movimento acelerado

Um grande mito é que não é possível se calcular acelerações na Relatividade Restrita, deixando a solução do paradoxo fora do escopo dessa teoria. No entanto isso não é verdade e é perfeitamente possível calcular o movimento de um corpo acelerado na Relatividade Restrita, permitindo calcular o movimento desse corpo.

Vamos calcular o movimento de uma partícula relativística submetida a um 'movimento uniformemente acelerado', ou seja, a cada instante, no referencial de repouso existe uma aceleração constante na direção $z$, escrita como $\gamma _{0}$.

Primeiramente, observemos que no referencial "tangente" de repouso da partícula,

${\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}=\left({\begin{array}{c}0\\{\vec {\gamma }}_{0}\end{array}}\right)$

Para descobrir qual o o quadrivetor no referêncial de laboratório, fazemos uma transformação de Lorentz, e portanto: ${\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}=\left({\begin{array}{c}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\gamma }}_{0}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {{\vec {\gamma }}_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{array}}\right)$

Sabemos também que $d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$, e podemos então chegar a uma equação para a quadrivelocidade

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}\right)={\frac {d}{dt}}(u^{\mu })=\left({\begin{array}{c}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\gamma }}_{0}}{c}}\\{\vec {\gamma }}_{0}\end{array}}\right)$

Lembrando que as componentes espaciais do quadrivetor são ${\vec {v}}\gamma$, e portanto

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\vec {v}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)={\vec {\gamma }}_{0}$

Lembrando que a particula se desloca na direção $z$ e escolhendo a partícula em repouso em $t=0$ $v_{z}={\frac {\gamma _{0}t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Agora é só integrar novamente, e chegamos a $z={\sqrt {{\frac {c^{4}}{\gamma _{0}^{2}}}+c^{2}t^{2}}}-{\frac {c^{2}}{\gamma _{0}}}$

Referências

• Rindler, W. Introduction to Special Relativity, (Oxford University Press, Oxford 1991).