Pentação
Em matemática, pentação (ou hiper-5) é a hiperoperação seguinte à tetração e anterior à hexação. É definida como uma tetração iterada ― repetida (assumindo associatividade à direita), assim como a tetração é uma exponenciação associativa à direita iterada.[1] É uma operação binária definida com dois números e , onde é tetrato consigo vezes. Por exemplo, utilizando a notação de hiperoperação para pentação e tetração, significa tetrar 2 consigo 2 vezes, ou . Que pode ser reduzido a .
Etimologia
[editar | editar código-fonte]A palavra pentação foi cunhada por Reuben Goodstein em 1947 que deriva das raízes penta- (cinco) e iteração. É parte de um esquema genérico de nomeação para hiperoperações.[2]
Notação
[editar | editar código-fonte]Há pouco consenso sobre a notação para pentação, por isso, há diferentes maneiras de escrever a operação. Contudo, algumas são mais utilizadas do que outras e têm vantagens claras ou desvantagens comparadas à outras.
- Pentação pode ser escrita como uma hiperoperação como . Neste formado, pode ser interpretado como o resultado da aplicação sucessiva da função , para repetições, começando do número 1. Analogamente, , tetração, representa o valor obtido por aplicar repetidamente a função , para repetições, começando do número 1 e a pentação representa o valor obtido por aplicar repetidamente a função para repetições começando do número 1.[3][4] Esta será a notação utilizada no restante deste artigo.
- Na notação de Knuth, é representado como ou . Nessa notação, representa a função exponenciação e representa a tetração. A operação pode ser facilmente adaptada para hexação ao adicionar-se outra seta.
- Na notação de seta encadeada de Conway, .[5]
- Outra notação proposta é , embora esta não seja extensível para hiperoperações maiores.
Exemplos
[editar | editar código-fonte]Os valores da função pentação podem também ser obtidos dos valores da quarta linha da tabela de valores da variante da função de Ackermann: se é definido pela recorrência de Ackermann com as condições iniciais e , então .[6]
Assim como a tetração, sua operação base, não foi estendida às alturas não inteiras, a pentação é atualmente definida somente para valores inteiros de e onde e e alguns poucos valores inteiros quais podem ser unicamente definidos. Assim como todas as hiperoperações de ordem 3 (exponenciações) e maiores, a pentação tem os seguintes casos triviais (identidades) as quais são verdadeiras para todos os valores de e no seu domínio:
Adicionalmente, podemos também definir:
Além dos casos triviais acima, a pentação gera número extremamente grande rapidamente tais que há apenas poucos casos não triviais que produzem números que podem ser escritos na notação convencional, como mostrado a seguir:
- (uma torre de potência de altura 65.536 (mostrada aqui na notação de exponencial iterada pois é muito grande para ser escrito em notação convencional. Note que .
- (uma tore de potência de altura )
- (uma torre de potência de altura 7.625.597.484.987)
- (uma torre de potência de altura )
- (um número com mais de dígitos)
- (um número com mais de dígitos)
Veja também
[editar | editar código-fonte]Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ Perstein, Millard H. (junho de 1962). «Algorithm 93: General order arithmetic». Communications of the ACM (em inglês) (6). 344 páginas. ISSN 0001-0782. doi:10.1145/367766.368160. Consultado em 14 de outubro de 2023
- ↑ Goodstein, R. L. (dezembro de 1947). «Transfinite ordinals in recursive number theory». Journal of Symbolic Logic (em inglês) (4): 123–129. ISSN 0022-4812. doi:10.2307/2266486. Consultado em 14 de outubro de 2023
- ↑ Knuth, Donald E. (17 de dezembro de 1976). «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness: Advances in our ability to compute are bringing us substantially closer to ultimate limitations.». Science (em inglês) (4271): 1235–1242. ISSN 0036-8075. doi:10.1126/science.194.4271.1235. Consultado em 14 de outubro de 2023
- ↑ Blakley, G.R; Borosh, I (novembro de 1979). «Knuth's iterated powers». Advances in Mathematics (em inglês) (2): 109–136. doi:10.1016/0001-8708(79)90052-5. Consultado em 14 de outubro de 2023
- ↑ Conway, John Horton; Guy, Richard K. (2006). The book of numbers Nachdr. ed. New York, NY: Copernicus
- ↑ Nambiar, K.K. (novembro de 1995). «Ackermann functions and transfinite ordinals». Applied Mathematics Letters (em inglês) (6): 51–53. doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4. Consultado em 14 de outubro de 2023