Polígono elegante

Um polígono convexo é dito elegante quando ele pode ser decomposto em triângulos equiláteros, quadrados ou ambos, todos com lados de mesmo comprimento. Essa definição foi apresentada primeiramente numa prova da OBMEP , em 2009.

Exemplos de Polígonos Elegantes

Propriedades

Tendo em vista que os polígonos elegantes são formados apenas por triângulos equiláteros, quadrados ou ambos, de modo justaposto, seus ângulos internos são iguais à soma de parcelas de 60º ou 90º que não exceda 180º. Dessa maneira, um polígono elegante pode ter ângulos medindo 60º, 90º, 120º e 150º.

Além disso, um polígono elegante terá, no máximo, 12 lados. Isso pode ser verificando observando que o maior ângulo desse tipo de polígono é 150º. Sendo assim, tem-se que:

$\Rightarrow \left(n-2\right)\cdot 180^{\circ }\leq 150^{\circ }\cdot n$, com $n$ igual ao número de lados do polígono
$\Rightarrow n\leq 12$

Por meio dessas propriedades, obtem-se um critério de classificação para esse tipo de polígono. Existe 34 tipos diferentes de polígonos elegantes .

Abaixo temos uma lista com esses polígonos representados pelo par ordenado $(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})$, em que $n_{1}$ é a quantidade de ângulo de 60°, $n_{2}$ é a quantidade de ângulo de 90°, $n_{3}$ é a quantidade de ângulo de 120° e $n_{4}$ é a quantidade de ângulo de 150°. Note que $n=$ $n_{1}+n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}$.

Tipos de polígonos elegantes