Mostrar código-fonte de Raiz da velocidade quadrática média

{{Sem notas|data=junho de 2015}}
[[Imagem:MaxwellBoltzmann-pt.svg|right|thumb|400px|Distribuições de densidade de probabilidade da velocidade molecular de quatro [[gás nobre|gases nobres]] a uma [[temperatura]] de 298,15 [[Kelvin|K]] (25 [[Celsius|°C]]). Os quatro gases são [[hélio]] (<sup>4</sup>He), [[néon]] (<sup>20</sup>Ne), [[argon]] (<sup>40</sup>Ar) y [[xénon]] (<sup>132</sup>Xe); os subíndices indicam os seus [[número de massa|números de massa]].]]

A '''raiz da velocidade quadrática média''' é uma medida da velocidade de uma partícula num gás. A mesma se expressa mediante a fórmula:

:<math>v_{rms} = \sqrt {{{3RT}}\over{M_m}}</math>

onde ''v<sub>rms</sub>'' é a [[Valor eficaz|raiz da média quadrática]] da velocidade, ''M<sub>m</sub>'' é a [[massa molar]] do gás, ''R'' é a [[constante universal dos gases perfeitos]], e ''T'' é a [[temperatura]] em [[Kelvin]]. 

Para a dedução dessa fórmula, considera-se um recipiente fechado cúbico de arestas de comprimento L, e uma molécula de gás com massa m e velocidade v.

Tem-se que o sentido da velocidade vx da molécula é perpendicular a uma das paredes, e que as colisões com a parede são elásticas. O 
[[momento]] transferido para a parede em uma colisão é dado por:<br />

<math>
\Delta p_x = (-m.v_x) - (m.v_x) = -2.m.v_x
</math><br />

Devemos considerar que a molécula se choca contra uma das paredes do recipiente a cada intervalo Δt. Como o espaço percorrido é 2L, a uma velocidade vx, temos que <math>  \Delta t = {2L \over v_x}
</math>.<br />

Com a união dessas duas relações, obtém-se a variação do momento em relação ao tempo:<br />

<math> {\Delta p \over \Delta t } = {m v_x^2 \over L} = F_x
</math><br />

[[Ficheiro:Cubo molecula velocidade.svg|thumb|250x250px|Recipiente cúbico com uma molécula de gás.]]
Que, pela [[segunda lei de Newton]] , é a força perpendicular a uma das paredes. Dividindo a força somada de todas moléculas pela área, obtemos a pressão sobre aquela parede.<br />

<math> P = {F_x \over L^2} = {m \over L^3} (v^2_{x1}+v^2_{x2}+...+v^2_{xN}) </math>
, onde N é o número de moléculas dentro do cubo.<br />

Sabendo que <math>N = n.N_A</math>, onde <math>N_A</math> é o [[número de Avogadro]] e <math>n</math> é o número de mols, a soma das velocidades individuais pode ser substituida pela velocidade de 1 mol de moléculas x Número de Avogadro:

<math>P = {m n N_A \over L^3}(v^{2}_{x}){med}</math><br />

Com <math>L^{3}</math> sendo o volume V e <math>m.N_A</math> sendo a [[massa molar]] M, e considerando que todas as moléculas do recipiente tem movimentos em direções aleatórias, ou seja, <math> V^{2}_x = V^{2}_y = V^{2}_z = {1 \over 3}.V^{2}</math>, podemos simplificar a pressão para:<br />

<math>P = {n M \over 3V}(v^{2}){med}</math><br />

Finalmente, isolando <math>v^2_{med}</math> = <math>v^2_{rms}</math>em função das outras variáveis e substituindo PV com a [[Lei dos gases ideais]] (<math>PV=nRT</math>), obtemos a equação da velocidade quadrática média para gases ideais<ref>{{citar livro|nome = HALLIDAY & RESNICK, Jearl Walker|sobrenome = |título = Fundamentos da física: Gravitação, ondas e termodinâmica|ano = 2012|isbn = 9788521619048|editora = LTC|edição = Nona Ed. Rio de Janeiro - RJ}}</ref>:<br />


<math>v_{rms} = \sqrt {{{3RT}}\over{M_m}}</math><br />


Este conceito é muito adequado tanto para o caso de gases com comportamento próximos de [[gás ideal|gases ideais]] como o [[hélio]] e o [[oxigénio]] diatómico. Podemos expressar a raiz da velocidade média quadrática em função da [[constante de Boltzmann]]:

:<math>v_{rms} = \sqrt {{{3kT}}\over{m}}</math>

onde m é a massa de uma molécula do gás.

Utilizando o Princípío de [[Lei da conservação da energia]]:

:<math>E_\mathrm{k} = {{3}\over{2}}nRT = \frac{3}{2}NkT</math>

onde  ''E''<sub>k</sub> é a [[energia cinética]] e ''N''o número de moléculas do gás.

:<math>E_\mathrm{k,molecula} = {{1}\over{2}}mv^2</math>

Dado que v² não considera a direcção do movimento, é lógico assumir que a fórmula pode ser estendida a toda a amostra, substituindo ''m'' pela massa de toda a amostra, ou seja a massa molar multiplicada pelo número de moles, "nM", resultando:

:<math>{{1}\over{2}}nMv^2 = E_\mathrm{k}</math>

Portanto:

:<math>v_\mathrm{rms} = \sqrt {{2E_\mathrm{k}}\over{m}}</math>

o qual é equivalente.

Um exemplo importante onde é necessário conhecer as velocidades de um gás é a [[Distribuição de Maxwell-Boltzmann]], e têm aplicações como o estudo de partículas de alta velocidade na superfície do sol e na superfície de um lago, por exemplo.

{{Referências}}

== Ver também ==
* [[Constante de Boltzmann]]

{{DEFAULTSORT:Raiz Velocidade Quadratica Media}}
[[Categoria:Gases]]