Sucessor cardinal

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Na teoria de números cardinais, podemos definir uma operação de sucessor semelhante à dos números ordinais. Isto coincide com a operação de sucessor ordinal para cardinais finitos, mas no caso de infinitos divergem porque cada ordinal infinito e seu sucessor tem a mesma cardinalidade (uma bijeção pode ser configurado entre os dois simplesmente enviando o último elemento do sucessor a 0, 0 a 1, etc, e fixa ω e todos os elementos acima, no estilo da infinitude do hotel de Hilbert). Usando a atribuição cardinal de von Neumannnota 1 e o axioma da escolha, esta operação de sucessor é fácil de definir: para um número cardinal κ temos:

\kappa^+ = |\inf \{ \lambda \in ON \ |\ \kappa < |\lambda| \}| ,

onde ON é a classe dos ordinais. Isto é, o cardinal sucessor é a cardinalidade do menor ordinal no qual um conjunto da cardinalidade dada pode ser mapeado um-para-um, mas que não pode ser mapeado um-para-um de volta para o conjunto.1 2

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Notas

  1. A atribuição cardinal de von Neumann é uma atribuição cardinal que usa números ordinais. Para um U bem ordenado definida, podemos definir o seu número cardinal para ser o menor número ordinal equipotência a U. Mais precisamente:
    |U| = \mathrm{card}(U) = \inf \{ \alpha \in ON \ |\ \alpha =_c U \} ,
    onde ON é a classe dos ordinais. Este ordinal é também chamado de ordinal inicial do cardinal.

Referências

  1. Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.
  2. Adding clubs subsets of w2 Charles Morgan [[1]]
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