Em uma eleição com dois candidatos A e B com e votos respectivamente, se então a probabilidade de que durante a apuração da eleição o candidato A esteja sempre à frente é dada por .
O resultado foi descoberto por A. De Moivre em 1708 ao estudar jogos de azar e redescoberto por Joseph Louis François Bertrand em 1887.[1]
Se entendermos cada voto para o ganhador como um passo de valor 1 e cada voto para o perdedor como um passo de valor -1 podemos interpretar como segue:
Seja um passeio aleatório com passos com i.i.d., se então a probabilidade de que é dada por , em outras palavras:
Para demonstrar faremos uso do princípio da reflexão.
Seja o número de caminhos entre os pontos e que tocam o eixo , tome também o número de caminhos entre e .
Se o princípio da reflexão diz que . Para demonstrar vamos criar uma bijeção entre os caminhos de até que passam por algum , e os caminhos entre até .
É claro que todo caminho que parte de até corta o eixo em algum ponto, seja o primeiro ponto em que isso ocorre. Podemos refletir todos os pontos antes de e emendar com o caminho depois de e vamos obter um caminho entre e que corta o eixo . A operação inversa é feita de forma análoga, acompanhe na figura ao lado. Temos então a bijeção desejada.
Calcular pode ser custoso, mas o princípio da reflexão facilita esse cálculo. Se um caminho vai de até então ele tem passos, separamos com o número de passos para cima e para baixo. Vale também , logo:
Para formar um caminho precisamos apenas saber quantas vezes andamos para cima, logo:
Dado um caminho podemos construir o caminho reverso tomando . Note que e para todo . Assim se é um caminho que atende as restrições do Teorema da Eleição com vale que para todo . Ou seja, o caminho reverso alcança pela primeira vez no passo .
Agora tomando um caminho tal que e para todo , é fácil ver que o seu reverso cumpre as condições do Teorema da Eleição. Assim estabelecemos uma bijeção entre os caminhos tais que e atingem pela primeira vez no passo e os caminhos tais que e . Como todo caminho tem a mesma probabilidade de ocorrer, vale:
Observando que o caso é simétrico obtemos o Teorema do Hitting Time[2]: a probabilidade de um caminho aleatório simples alcançar o ponto pela primeira vez no passo é dada por:
Essa relação segue sendo verdadeira contanto que os passos sejam i.i.d., como demonstrado por Hofstad e Keane [3].