Teorema da comparação de Rauch

Em geometria riemanniana, o Teorema da Comparação de Rauch, provado em 1951 por Harry Rauch, é um resultado fundamental que relaciona a curvatura seccional de uma variedade riemanniana com a taxa com a qual suas geodésicas se afastam. Intuitivamente, ele diz que para maiores curvaturas as geodésicas se afastam menos, enquanto para curvaturas menores elas se afastam mais, e no caso de curvaturas negativas nunca vão se encontrar. Essa visão é traduzida via Campos de Jacobi e pontos conjugados, comparando com os espaço-forma R^n, H^n e S^n, onde esses campos são bem conhecidos.

Enunciado do Teorema

Sejam $M$, ${\widetilde {M}}$ variedades riemannianas e sejam $\gamma :[0,T]\to M$ e ${\widetilde {\gamma }}:[0,T]\to {\widetilde {M}}$ segmentos geodésicos parametrizados pelo comprimento de arco tais que ${\widetilde {\gamma }}(0)$ não tem pontos conjugados ao longo de ${\widetilde {\gamma }}$. Sejam ainda $J$, ${\widetilde {J}}$ campos de Jacobi normais respectivamente ao longo de $\gamma$ e ${\widetilde {\gamma }}$ tais que $J(0)={\widetilde {J}}(0)=0$ e $|D_{t}J(0)|=|{\widetilde {D}}_{t}{\widetilde {J}}(0)|$. Suponha adicionalmente que as curvaturas seccionais de $M$ e ${\widetilde {M}}$ satisfazem $K(\Pi )\leq {\widetilde {K}}({\widetilde {\Pi }})$ sempre que $\Pi \subset T_{\gamma (t)}M$ é um plano contendo ${\dot {\gamma }}(t)$ e ${\widetilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\widetilde {M}}$ é um plano contendo ${\dot {\widetilde {\gamma }}}(t)$. Então $|J(t)|\geq |{\widetilde {J}}(t)|$ para todo $t\in [0,T]$.

Referências

• do Carmo, M.P. Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992.
• Lee, J. M., Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, 1997.