Teorema da extensão homomórfica única

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Um Pequeno Lema[editar | editar código-fonte]

Seja A um conjunto não vazio, X um subconjunto de A, F um conjunto de funções em A, e o fecho indutivo de X sob F.

Seja B qualquer conjunto não vazio e seja G o conjunto de funçoes sobre o conjunto B, de forma que exista uma função em G ,que associa com cada função f de aridade n em F a seguinte função em G(G não pode ser uma bijeção).

Partindo deste lema podemos construir o conceito de Extensão Homomórfica Unica.

O Teorema[editar | editar código-fonte]

Se é livremente gerado por X e F , para cada função existe uma única função tal que:

       (1);
       Para toda função f de aridade n > 0, para para todo 
       (2)
           Na imagem temos o conjunto livremente gerado '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"' e a extensão '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'
         
                   Conjunto de funções F, que contem funções f que operam sobre A e conjunto de funções G, que contém funções g que operam sobre B.

Implicações[editar | editar código-fonte]

As identidades vistas em (1) e (2) demonstram que é um homomorfismo, chamado especificamente de Extensão Homomórfica Única de . Para provar o teorema, dois requisitos devem ser satisfeitos: provar que a extensão() existe e é única (garantindo a ausência de bijeções).

Prova do Teorema da Extensão Homomórfica Unica[editar | editar código-fonte]

Precisamos definir uma sequencia de funções de forma indutiva , satisfazendo as condições (1) e (2) restritas a . Para isso definimos e dado então terá o seguinte grafo (lembre-se, estamos tratando um homomorfismo e portanto precisamos provar isso via grafos):

           com 

Primeiro devemos checar se o grafo realmente possui funcionalidade, já que é livremente gerado, pelo pequeno lema temos que quando ,então preciamos apenas determinar a funcionalidade apenas para a primeira parte da união. Tendo que os elementos de G são funções(novamente, como definido pelo lema), a unica possibilidade de ter e para algum é ter para algum e para alguns construtores e em .

Já que e são disjuntos quando isto implica que e . Sendo todo em ,nós temos que ter .

Mas então temos com , mostrando funcionalidade.

Antes de continuar precisamos utilizar um novo lema que determine regras para funções parciais, ele pode ser escrito como:

 (3)Seja  uma sequencia parcial de funções  tal que . Então,  é uma função parcial. [1]

Usando (3), é uma função parcial. Já que então é total em .

Indo além, é claro pela definição de que satisfaz (1) e (2). Para provar a unicidade de , para qualquer outra função que satifaça (1) e (2), basta usar uma indução simples que mostre que e servem para , provando assim o Teorema da Extensão Homomórfica Unica.[2]

Exemplo de Caso Particular[editar | editar código-fonte]

Podemos usar o teorema da extensão no calculo numérico de expressões sobre números inteiros. Primeiramente devemos definir o seguinte:

onde

Seja

Seja o fecho indutivo de sob e seja

Seja

Então será uma função que calcula recursivamente o valor-verdade de uma proposição, e de certa forma, será uma extensão de função que associa um valor verdade a cada proposição atômica,tal que:

(1)


(2) (Negação)

(Operação E)

(Operação OU)

(Operação Se-Então)


Referências[editar | editar código-fonte]

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