Teoria completa

Na lógica matemática, uma teoria é completa se ela for um conjunto maximal consistente de sentenças, i.e., se ela é consistente e nenhuma de suas extensões próprias é consistente. Para teorias da lógica que contêm lógica clássica, isto é o equivalente a perguntar por todas sentenças φ na linguagem da teoria que contém φ ou sua negação ¬φ.

Teorias de primeira ordem recursivamente axiomatizáveis que são axiomaticamente ricas o suficiente para permitir que o raciocínio matemático geral seja formulado não pode ser completa, assim como demonstrado pelo Teorema da incompletude de Gödel. Este sentido de completude é distinto da noção de lógica completa, que diz que toda teoria pode ser formulada na lógica, todas sentenças semanticamente válidas são teoremas demonstráveis. O Teorema da completude de Gödel é relacionado a esse tipo de completude.

Teorias completas são fechadas sob um número de condições internamente modelando um T-schema:

• Para um conjunto $S\!$: $A\land B\in S$ se e somente se $A\in S$ e $B\in S$,
• Para um conjunto $S\!$: $A\lor B\in S$ se e somente se $A\in S$ ou $B\in S$.

Conjuntos maximais consistentes são uma ferramenta fundamental na teorema dos modelos da lógica clássica e da lógica modal. Sua existência em um dado caso é geralmente um consequência direta do lema de Zorn, baseado na ideia de que uma contradição envolve o uso único de um número finito de muitas premissas. No caso da lógica modal, a coleção de conjuntos maximais estendem a teoria T, (fechada sob a regra de necessitarão) dada uma estrutura do modelo de T, chamada de modelo canônico.

Exemplos

Alguns exemplos de teoria completa são:

• Aritmética de Presburger
• Axiomas de Tarski para a geometria euclideana
• A teoria das ordens lineares densas
• A teoria de um corpo algebricamente fechado numa dada característica.
• A teoria de um corpo real fechado.
• Toda teoria contável incontavelmente categórica
• Toda teoria contável contavelmente categórica

Referências

• Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic Fourth edition ed. [S.l.]: Chapman & Hall. 86 páginas. ISBN [[Special:BookSources/978-0-

412-80830-2|978-0- 412-80830-2]]