Usuário(a):IvanFiorotti/Testes

Funções elementares

Função seno

Gráfico de f(x) = sen x

F(x)=sen(x+b)

$f(x)=\operatorname {sen} x$

Associa a cada número real $x$, o número $y=\operatorname {sen} x$

• Domínio: Como $x$ pode assumir qualquer valor real: $D=\mathbb {R}$
• Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem é o intervalo entre esses valores. Logo, $\operatorname {Im} =[-1,1]$
• Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2\pi$. Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
• Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função $f(x)=\operatorname {sen} \,x$, a senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a $2\pi$, portanto o período é 2$\pi$.
• Paridade: Dado que $\operatorname {sen} (-x)=-\operatorname {sen} x$, a função seno é ímpar.
• Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
  • $f(x)=\operatorname {sen} x$ é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva).
  • $f(x)=\operatorname {sen} x$ é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa).

Função cosseno

Gráfico de f(x) = cos x

$f(x)=\cos x$

Associa a cada número real $x$, o número $y=\cos x$

• Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: $D=R$
• Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: $\operatorname {Im} =[-1,1]$
• Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2\pi$. Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
• Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x , a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a $2\pi$, portanto o período é $2\pi$.
• Paridade: Dado que $\operatorname {cos} (-x)=\operatorname {cos} x$, a função cosseno é par.
• Sinal da Função: Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
  • $f(x)=\cos x$ é positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa positiva).
  • $f(x)=\cos x$ é negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa negativa).

Função tangente

Gráfico de f(x) = tg x

$f(x)=\operatorname {tg} x$

Associa a cada número real x o número $y=\operatorname {tg} x$

• Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de $\cos x=0$ (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno.
• Conjunto Imagem: $\operatorname {Im} =\mathbb {R}$
• Gráfico: Tangentóide.
• Período: o período da função tangente é $\pi$.
• Paridade: Dado que $\operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} x$, a função tangente é ímpar.
• Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:

$f(x)=\operatorname {tg} x$ é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).

$f(x)=\operatorname {tg} x$é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).

Função cotangente

$f(x)=\operatorname {cot} x$

Associa a cada número real x o número $y=\operatorname {cot} x$

• Domínio: A função da cotangente apresenta uma peculiaridade, similar a função tangente. Ela não existe quando o valor de $\operatorname {tg} x=0$. Assim, seu domínio fica definido como: $\left\{x\in {\mathbb {R} }|x\neq {k}\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}$.
• Conjunto imagem: A imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, logo: $\operatorname {Im} =\mathbb {R}$.
• Período: o período da função cotangente é $\pi$.
• Paridade: Dado que $\operatorname {cot} (-x)=-\operatorname {cot} x$, temos que a função cotangente é impar.
• Sinal da função: A função cotangente apresenta os mesmo sinais de uma função tangente de mesmo arco, logo:

$f(x)=\operatorname {cot} (x)$ é positiva no 1° e no 3° quadrante e negativa no 2° e no 4° quadrante.

Função secante

$f(x)=\operatorname {sec} x$

Associa a cada número real x o número $f(x)=\operatorname {sec} x$.

• Domínio: A função secante apresenta domínio igual ao conjunto dos números reais, retirando os valores para os quais o $\operatorname {cos} x=0$. Assim, seu domínio fica definido como: $\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}$
• Conjunto imagem: a imagem da função secante é dada por $\mathbb {R} -\left({-1,1}\right)$.
• Período: o período da função secante é $2\pi$.
• Paridade: a função secante é uma função par, pois $\operatorname {sec} x=\operatorname {sec} (-x)$.
• Sinal da função:a função secante apresenta os mesmos sinais da função cosseno, logo:

$f(x)=\operatorname {sec} x$ é positiva no 1° e no 4° quadrante e negativa no 2° e no 3° quadrante.

Função cossecante

$f(x)=\operatorname {csc} x$

Associa a cada número real x o número $f(x)=\operatorname {csc} x$.

• Domínio: a função cossecante apresenta domínio igual ao conjunto dos números reais, retirando os valores para os quais o $\operatorname {sen} x=0$. Logo, seu domínio fica definido como: $\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq {k}\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}$
• Conjunto imagem: a imagem da função cossecante é dada por $\mathbb {R} -\left({-1,1}\right)$.
• Período: o período da função cossecante é $2\pi$.
• Paridade; a função cossecante é ímpar, pois $\operatorname {csc} x=-\operatorname {csc} (-x)$
• Sinal da função: a função cossecante apresenta os mesmos sinais da função seno, logo:

$f(x)=\operatorname {csc} x$ é positiva no 1° e no 2° quadrante e negativa no 3° e no 4° quadrante.