Usuário(a):Mateus Sanvitto/Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática utilizada geralmente para representar funções temporais no domínio da frequência, sendo assim muito importante na manipulação de funções matemáticas de variáveis complexas.

A notação usual da Transformada de Laplace é ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ equivalente a ${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Utilizada originalmente para resoluções de problemas de eletricidade desde 1892, pelo físico inglês Oliver Heaviside, sua aplicação também se estende no campo da economia como no Cálculo do Valor Presente.

Valor Presente

Na Matemática Financeira se determina Valor presente líquido uma quantidade de valor somado futuro ou uma série de fluxo de caixa dado uma taxa de retorno específica relacionada. O cálculo do Valor presente é fundamental para o desenvolvimento de organismos financeiros como fundos de pensão, fluxos de caixa futuros, empréstimos, etc.

Sua formula se da por: ${\mbox{PV}}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {C_{t}}{(1+i)^{t}}}$

O Valor Presente de Capitalização Contínua de Juros constitui-se hipoteticamente de uma quantidade de valor somado por pagamentos em um período infinito e com intervalos de pagamentos infinitesimalmente pequenos. Apesar de ser um modelo teórico, é utilizado por bancos, redes de comércio, companhias de telecomunicação e por toda instituição que prevê um grande número de pagamentos ao longo de um período muito extenso por um grande número de beneficiados.

Aplicação de Transformada de Laplace para Cálculo do Valor Presente

Em Finanças podemos calcular o Valor Presente de uma Série de Pagamentos pela fórmula

${\mbox{PV}}=\sum _{t=1}^{T}{\frac {C(t)}{(1+r)^{t}}}$

• $PV$ é o Valor Presente
• $T$ é o Período em questão
• $t$ é a Unidade do Período
• $r$ é a Taxa de Desconto
• $C(t)$ é o Fluxo de Caixa

Assumindo o Valor Presente com Capitalização Contínua de Juros podemos substituir ${(1+r)^{t}}$ por ${e^{rt}}$ obtendo a equação

${PV}=\sum _{t=1}^{T}{C(t)e^{rt}}$

No caso de Capitalização Contínua adotamos $T$ com limite no infinito e $t$ com limite tendendo a zero. Podemos, assim, adotar a notação

${PV}=\int _{0}^{\infty }{C(t)e^{rt}},dt.$

Perceba que a expressão é análoga à fórmula fundamental da Transformada de Laplace.

${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Uma Série de Pagamentos com pagamentos constantes $K$ num intervalo de tempo infinito é representada por

Em pagamentos não constantes definimos a Série por

${PV}={\frac {K}{(1+r)}}+{\frac {K}{(1+r)^{2}}}+{\frac {K}{(1+r)^{3}}}{\frac {K}{(1+r)^{4}}}+------$

Multiplicando os dois lados da expressão por ${\frac {(1+g)}{(1+r)}}$ temos

${PV}{\frac {(1+g)}{(1+r)}}={\frac {K(1+g)}{(1+r)^{2}}}+{\frac {K(1+g)^{2}}{(1+r)^{3}}}+{\frac {K(1+g)^{3}}{(1+r)^{4}}}{\frac {K(1+g)^{4}}{(1+r)^{5}}}+------$

E subtraindo as duas expressões das séries obtemos a equação a ser transformada

${PV}-{PV}{\frac {(1+g)}{(1+r)}}={\frac {K}{(1+r)}}$

Podendo assim resolver o Problema do Valor Presente de Fluxo de Caixa crescente. Em pagamentos a taxa crescente g resolvemos como

${\mathcal {L}}\{C(t)\}=K{\mathcal {L}}\left\{{\frac {(1+g)}{(1+r)}}\right\}={\frac {K}{r-g}}$

Este é o Valor Presente do Fluxo de Caixa de Pagamentos Crescentes em juros de Capitalização Contínua em um determinado período.