Usuário:Aainitio/Lacunaridade

Figura 1. Padrões fractais básicos aumentando em lacunaridade da esquerda para a direita.

As mesmas imagens acima, giradas 90°. Enquanto as duas primeiras imagens parecem essencialmente as mesmas que acima, a terceira parece diferente de seu original não girado. Esse recurso é capturado em medidas de lacunaridade listadas na parte superior das figuras, calculadas usando o software padrão de contagem de caixas de imagem biológica FracLac, Image .

Lacunaridade (do latim lacuna, diminutivo de lacus, com o significado de "lacuna" ou "vazio"), é um termo com acepções em vária áreas. Efetivamente, lacunaridade, com a acepção essencial que reporta à "o estado de, ou a qualidade de ser vazio", isto é, de não conter elemento de uma dada classe ou categoria [que determinará o ramo de estudo a que se refere] — lacunaridade tem um sentido essencial.

Em geometria, refere-se a uma medida de como os padrões, especialmente fractais, preenchem o espaço, onde os padrões com mais ou maiores lacunas geralmente têm maior lacunaridade. Além de ser uma medida intuitiva da lacuna, a lacunaridade pode quantificar características adicionais de padrões como "invariância rotacional" e, mais geralmente, heterogeneidade. Isso é ilustrado na Figura 1 mostrando três padrões fractais. Quando girado 90°, os dois primeiros padrões bastante homogêneos não parecem mudar, mas a terceira figura mais heterogênea muda e tem lacunaridade correspondentemente maior. A referência mais antiga ao termo em geometria é geralmente atribuída a Mandelbrot, que, em 1983 ou talvez já em 1977, o introduziu como, em essência, um complemento à análise fractal . A análise de lacunas agora é usada para caracterizar padrões em uma ampla variedade de campos e tem aplicação em análise multifractal em particular (ver Aplicações ).

Medindo lacunaridade

Em muitos padrões ou conjuntos de dados, a lacunaridade não é facilmente perceptível ou quantificável, então métodos auxiliados por computador foram desenvolvidos para calculá-la. Como uma quantidade mensurável, a lacunaridade é frequentemente denotada na literatura científica pelas letras gregas $\Lambda$ ou $\lambda$ mas é importante notar que não existe um padrão único e existem vários métodos diferentes para avaliar e interpretar a lacunaridade.

Lacunaridade da contagem de caixas

Figura 2a. Caixas dispostas sobre uma imagem como uma grade fixa.

Figura 2b. As caixas deslizavam sobre uma imagem em um padrão de sobreposição.

Um método bem conhecido de determinar lacunaridade para padrões extraídos de imagens digitais usa contagem de caixas, o mesmo algoritmo essencial normalmente usado para alguns tipos de análise fractal . Semelhante a olhar para uma lâmina através de um microscópio com níveis de ampliação variáveis, os algoritmos de contagem de caixas examinam uma imagem digital de vários níveis de resolução para examinar como certos recursos mudam com o tamanho do elemento usado para inspecionar a imagem. Basicamente, o arranjo de pixels é medido usando elementos tradicionalmente quadrados (ou seja, em forma de caixa) de um conjunto arbitrário de $\mathrm {E}$ tamanhos, convencionalmente denotados $\varepsilon$ s. Para cada $\varepsilon$, a caixa é colocada sucessivamente sobre toda a imagem e, cada vez que é colocada, o número de pixels que caem dentro da caixa é registrado. Na contagem de caixas padrão, a caixa para cada $\varepsilon$ dentro $\mathrm {E}$ é colocado como se fosse parte de uma grade sobreposta na imagem para que a caixa não se sobreponha, mas nos algoritmos de caixa deslizante a caixa é deslizada sobre a imagem para que ela se sobreponha e a "Lacunaridade da caixa deslizante" ou SLac é calculado. A Figura 2 ilustra os dois tipos de contagem de caixas.

Cálculos da contagem de caixas

Os dados coletados para cada $\varepsilon$ são manipulados para calcular lacunaridade. Uma medida, denotada aqui como $\lambda _{\varepsilon }$, é encontrado a partir do coeficiente de variação ( ${\mathit {CV}}$ ), calculado como o desvio padrão ( $\sigma$ ) dividido pela média ( $\mu$ ), para pixels por caixa. Como a forma como uma imagem é amostrada dependerá do local de início arbitrário, para qualquer imagem amostrada em qualquer $\varepsilon$ haverá algum número ( ${\mathit {G}}$ ) de orientações possíveis, cada uma denotada aqui por ${\mathit {g}}$, sobre os quais os dados podem ser coletados, o que pode ter efeitos variados na distribuição medida de pixels. A Equação 1 mostra o método básico de cálculo $\lambda _{\varepsilon ,g}$ :

$\lambda _{\varepsilon ,g}=(CV_{\varepsilon ,g})^{2}=\left({\frac {\sigma _{\varepsilon ,g}}{\mu _{\varepsilon ,g}}}\right)^{2}$

 

 

 

 

(1)

Distribuições de probabilidade

Alternativamente, alguns métodos classificam os números de pixels contados em uma distribuição de probabilidade com $B$ caixas e use os tamanhos das caixas (massas, $m$ ) e suas probabilidades correspondentes ( $p$ ) calcular $\lambda _{\varepsilon ,g}$ de acordo com as Equações 2 a 5 :

$\mu _{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }p_{i,\varepsilon }}$

 

 

 

 

(2)

${\mathit {v}}_{\varepsilon }=\sum _{i-1}^{B}{\left(m_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }\right)^{2}p_{i,\varepsilon }}$

 

 

 

 

(3)

$\sigma _{\varepsilon }={\sqrt {{\mathit {v}}_{\varepsilon }}}=\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}$

 

 

 

 

(4)

$\lambda _{\varepsilon }={\frac {\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}}{\mu _{\varepsilon }^{2}}}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\mu _{\varepsilon }^{2}}}$

 

 

 

 

(5)

Interpretando λ

Lacunaridade baseada em $\lambda _{\varepsilon ,g}$ foi avaliado de várias maneiras, inclusive usando a variação ou o valor médio de $\lambda _{\varepsilon ,g}$ para cada $\varepsilon$ (veja a Equação 6 ) e usando a variação ou média em todas as grades (veja a Equação 7 ).

${\overline {\lambda _{\varepsilon ,g}}}={\frac {\sum _{\varepsilon =1}^{\mathrm {E} }\lambda _{\varepsilon ,g}}{\mathrm {E} }}$

 

 

 

 

(6)

$\Lambda _{\mathit {g}}={\frac {\sum _{{\mathit {g}}=1}^{\mathit {G}}{\overline {\lambda _{\varepsilon ,g}}}}{\mathit {G}}}$

 

 

 

 

(7)

Análises de lacunas usando os tipos de valores discutidos acima mostraram que conjuntos de dados extraídos de fractais densos, de padrões que mudam pouco quando girados, ou de padrões que são homogêneos, têm baixa lacunaridade, mas à medida que esses recursos aumentam, assim geralmente faz lacunaridade. Em alguns casos, foi demonstrado que as dimensões fractais e os valores de lacunaridade estavam correlacionados, mas pesquisas mais recentes mostraram que essa relação não se aplica a todos os tipos de padrões e medidas de lacunaridade. De fato, como Mandelbrot originalmente propôs, a lacunaridade mostrou ser útil para discernir entre padrões (por exemplo, fractais, texturas, etc.) que compartilham ou têm dimensões fractais semelhantes em uma variedade de campos científicos, incluindo a neurociência.

Lacunariedade gráfica

Outros métodos de avaliação de lacunaridade de dados de contagem de caixas usam a relação entre valores de lacunaridade (por exemplo, $\lambda _{\varepsilon ,g}$ ) e $\varepsilon$ de maneiras diferentes das mencionadas acima. Um desses métodos analisa a $\ln$ vs $\ln$ gráfico desses valores. De acordo com este método, a própria curva pode ser analisada visualmente, ou a inclinação em ${\mathit {g}}$ pode ser calculado a partir do $\ln$ vs $\ln$ linha de regressão. Porque eles tendem a se comportar de certas maneiras para padrões mono, multi e não fractais, respectivamente, $\ln$ vs $\ln$ gráficos de lacunaridade têm sido usados para complementar os métodos de classificação de tais padrões.

Para fazer os gráficos para este tipo de análise, os dados da contagem de caixas primeiro devem ser transformados como na Equação 9 :

$f\lambda _{\varepsilon ,g}=\lambda _{\varepsilon ,g}+1$

 

 

 

 

(9)

Essa transformação evita valores indefinidos, o que é importante porque imagens homogêneas terão $\sigma$ em algum $\varepsilon$ igual a 0, de modo que a inclinação do $\ln$ vs $\ln$ linha de regressão seria impossível de encontrar. Com $f\lambda _{\varepsilon ,g}$, as imagens homogêneas têm uma inclinação de 0, correspondendo intuitivamente à ideia de nenhuma invariância rotacional ou translacional e sem lacunas. Uma técnica de contagem de caixas usando uma caixa "deslizante" calcula a lacunaridade de acordo com:

${\mathcal {L}}(r)={\frac {\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}^{2}Q(S_{i},r)}{\left(\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}Q(S_{i},r)\right)^{2}}}.$

 

 

 

 

(10)

$S_{i}$ é o número de pontos de dados preenchidos na caixa e $Q(S_{i},r)$ a distribuição de frequência normalizada de $S_{i}$ para diferentes tamanhos de caixa.

lacunaridade do pré-fator

Outra maneira proposta de avaliar lacunaridade usando a contagem de caixas, o método Prefactor, é baseado no valor obtido da contagem de caixas para a dimensão fractal ( $D_{B}$ ). Esta estatística usa a variável $A$ da regra de escala $N=A\varepsilon ^{D_{B}}$, Onde $A$ é calculado a partir da interceptação y ( ${\mathit {y}}$ ) da linha de regressão ln-ln para $\varepsilon$ e ou a contagem ( $N$ ) de caixas que tinham quaisquer pixels nelas ou então $m$ no $g$ . $A$ é particularmente afetado pelo tamanho da imagem e pela forma como os dados são coletados, especialmente pelo limite inferior de $\varepsilon$ é usado. A medida final é calculada conforme mostrado nas Equações 11 a 13 :

$A_{g}={\frac {1}{e^{{\mathit {y}}_{g}}}}$

 

 

 

 

(11)

${\overline {A}}={\frac {\sum _{g=1}^{G}A_{g}}{G}}$

 

 

 

 

(12)

$P\Lambda ={\frac {\sum _{g=1}^{G}{\left({\frac {A_{g}}{\overline {A}}}-1\right)^{2}}}{G}}$

 

 

 

 

(13)

Formulários

Abaixo está uma lista de alguns campos onde a lacunaridade desempenha um papel importante, juntamente com links para pesquisas relevantes que ilustram usos práticos da lacunaridade.

• Ecologia
• Física
• Arqueologia
• Imagens médicas
• Análise espacial urbana
• Estudos sísmicos
• Odontologia
• Ciência dos alimentos

Ligações externas

• «FracLac User's Guide»  An online guide to lacunarity theory and analysis using free, open source biological imaging software.

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