Usuário:Lechatjaune/Spline cúbico

Definição

Sejam $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$ as abcissas dos pontos de interpolação. A spline cúbica é uma função:$P(x)$, definida no intervalo $[x_{1},x_{n}]$ com as seguintes propriedades:

1. Em cada segmento $[x_{n},x_{n+1}],n=1,2,\ldots ,n-1.P(x)$ é um polinômio cúbico.

2. $P(x),P(x)'eP(x)''$ são funções contínuas no intervalo.

3. $P(x_{i})=y_{i}$ , isto é, o polinômio passa pelos pontos dados.

Então a função é composta por $n-1$ polinômios cúbicos (onde $n$ é o número de pontos), e cada polinômio é determinado por 4 coeficientes $a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}$, que devem ser determinados. O polinômio tem a forma:$P(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+c_{i}(x-x_{i})^{2}+d_{i}(x-x_{i})^{3}$. Para obtermos os 4 coeficientes $a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}$ de cada um dos polinômios montaremos um sistema de equações lineares. Para $i=1,2,\ldots ,n-1$.

• $P_{i}(x_{i})=y_{i}$
• $P_{i}(x_{i+1})=y_{i+1}$
• $P'_{i}(x_{i+1})=P'_{i+1}(x_{i+1})$
• $P''_{i}(x_{i+1})=P''_{i+1}(x_{i+1})$

A derivada primeira de $P(x)$ é: $P'(x)=b_{i}+2c_{i}(x-x_{i})^{2}$.

E a derivada segunda de $P(x)$ é:$P''(x)=2c_{i}+6d_{i}(x-x_{i})$.

Com as derivadas vamos substituir nas fórmulas listadas anteriormente com isso teremos as seguintes equações:

$a_{i}=y_{i}$

$a_{i}+b_{i}(x_{i+1}-x_{i})+c_{i}(x_{i+1}-1)^{2}+d_{i}(x_{i+1}-x_{i})^{3}=y_{i+1}$

$b_{i}+2c_{i}(x_{i+1}-1)+3d_{i}(x_{i+1}-x_{i})^{2}=b_{i+1}$

$c_{i}+3d_{i}(x_{i+1}-x_{i})=c_{i+1}$

Para simplicar as formulas acima faremos: $h_{i}=x_{i+1}$ E as reescrevemos como:

$a_{i}=y_{i}$

$a_{i}+b_{i}(h_{i})+c_{i}(h_{i})^{2}+d_{i}(h_{i})^{3}=y_{i+1}$ $(1)$

$b_{i}+2c_{i}(h_{i})+3d_{i}(h_{i})^{2}=b_{i+1}$

$c_{i}+3d_{i}(h_{i})=c_{i+1}$

que podemos reescreve-las deixando em “função” dos coeficientes:

$a_{i}=y_{i}$

$b_{i}=3y_{i+1}-3y_{i}-2c_{i}(h_{i})^{2}$ $(2)$

$d_{i}={\frac {(c_{i+1}-c_{i})}{3(h_{i})}}$

Para o coeficiente $c$ trocamos $i$ por $i-1$ na 3ª equação de (1), e fazemos $i=2,\ldots ,n-1$.

Fazemos simplificações e obtemos:

$c_{i-1}(h_{i-1})+ci(2h_{i}+2h_{i-1}+ci+1(hi)={\frac {3y_{i+1}-y_{i})}{(h_{i})}}-{\frac {3y_{i}-y_{i-1}}{(h_{i-1})}}$ $(3)$

Essa equação define um sistema de equações lineares para as incógnitas $c_{i}$. Além dos coeficientes $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n-1}$ no sistema também existe a incógnita cn$c_{n}$ que está relacionada à condição no extremo do intervalo e para determiná-la dependerá do tipo de spline que poderá ser: SPLINE NATURAL ou SPLINES COM CONDIÇÕES DE CONTORNO FIXADAS.

2.1 Spline Natural

O spline natural deve satisfazer as condições:

$P''_{i}(x_{1})=0$

$P''_{i}(x_{n})=0$

Aplicando as condições:

$P''(x_{1})=2c_{1}+6d_{i}(x_{1}-x_{1})=0$ temos que $c_{1}=0$.

$P''(x_{n})=2c_{n-1}+6d_{n-1}(h_{n-1})=0$ temos que $c_{n}=0$.

Com $c_{1},c_{n}$ e a equação em (3) formamos um sistema de $n$ equações $Ax=v$.

$A={\begin{bmatrix}1&0&0&0&\cdots &0&0\\h_{1}&2h_{2}+2h_{1}&h_{2}&0&\cdots &0&0\\0&h_{2}&2h_{3}+2h_{2}&h_{3}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &h_{n-2}&2h_{n-2}+2h{n-1}&h_{n-1}\\0&0&0&\cdots &0&0&1\end{bmatrix}}$

$x={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}$

$v={\begin{bmatrix}0\\3{\frac {y_{3}-y_{2}}{h_{2}}}-3{\frac {y_{2}-y_{1}}{h_{1}}}\\3{\frac {y_{4}-y_{3}}{h_{3}}}-3{\frac {y_{3}-y_{2}}{h_{2}}}\\\vdots \\3{\frac {y_{n-1}-y_{n-2}}{h_{n-2}}}-3{\frac {y_{n-2}-y_{n-3}}{h_{n-3}}}\\0\end{bmatrix}}$

Resolvemos o sistema $Ax=v$ e encontramos os coeficientes $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n-1}$, então substiruimos nas equações em (2) e encontramos os outros coeficientes $a_{i},b_{i},d_{i}$.

2.2 Spline com condições de contorno fixadas

Nesse caso o spline deve satisfazer as mesmas condições da função nos extremos. São elas:

$P'(x_{1})=f'(x_{1})$

$P'(x_{n})=f'(x_{n})$

Substituindo $x_{1}$ na derivada de $P(x)$:

$P'_{1}(x)=b_{1}+2c_{1}(x_{1}-x_{1})+3d_{1}(x_{1}-x_{1})^{2}=f'(x_{1})$.

Isso implica que $b_{1}=f'(x_{1})$

Substituindo $x_{n}$ na derivada de $P(x)$:

$P'_{n}(x)=b_{n-1}+2c_{n-1}(x_{n}-x_{n-1})+3d_{i}(x_{n}-x_{n-1})^{2}=f'(x_{n})$

$P'_{n}(x)=b_{n-1}+2c_{n-1}(h_{n-1})+3d_{n-1}(h_{n-1})^{2}=f'(x_{n})$

Resumindo chegamos no problema de resolver o sistema formado pelas equações acima e a equação em (3)

$A={\begin{bmatrix}2h_{1}&h_{1}&0&0&\cdots &0&0\\h_{1}&2h_{2}+2h_{1}&h_{2}&0&\cdots &0&0\\0&h_{2}&2h_{3}+2h_{2}&h_{3}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &h_{n-2}&2h_{n-2}+2h{n-1}&h_{n-1}\\0&0&0&\cdots &0&h_{n}-1&2h_{n}-1\end{bmatrix}}$

$x={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}$

$v={\begin{bmatrix}3{\frac {y_{2}-y_{1}}{h_{1}}}-3f'(x_{1})\\3{\frac {y_{3}-y_{2}}{h_{2}}}-3{\frac {y_{2}-y_{1}}{h_{1}}}\\3{\frac {y_{4}-y_{3}}{h_{3}}}-3{\frac {y_{3}-y_{2}}{h_{2}}}\\\vdots \\3{\frac {y_{n-1}-y_{n-2}}{h_{n-2}}}-3{\frac {y_{n-2}-y_{n-3}}{h_{n-3}}}\\3f'(x_{n})-3{\frac {y_{n}-y_{n-1}}{h_{n-1}}}\end{bmatrix}}$

Resolvemos o sistema $Ax=v$ e encontramos os coeficientes $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n-1}$, então substiruimos nas equações em (2) e encontramos os outros coeficientes $a_{i},b_{i},d_{i}$.