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Cinemática

Cinemática é o ramo da física que estuda o movimento dos corpos sem levar em consideração os fatores que influenciam estes movimentos, sendo este último o objeto de estudo da dinâmica.

Conceitos básicos relacionados ao estudo da cinemática

O entendimento de alguns conceitos básicos é importante para o entendimento da cinemática. A discussão seguinte destaca cada um destes conceitos.

Tempo

Na física newtoniana o tempo é uma grandeza escalar absoluta e uniforme, o que significa que o tempo é igual em todos os pontos do universo e avança sempre a passos constantes. O tempo é independente de quaisquer outras grandezas e muitas grandezas são uma função do tempo.

Um intervalo de tempo é um intervalo fechado $\scriptstyle [t_{1},t_{2}]$ onde $\scriptstyle t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}$. Neste contexto, um instante é qualquer $\scriptstyle t\in [t_{1},t_{2}]$. A duração $\scriptstyle \Delta {t}$ de um intervalo de tempo é a diferença entre os limites do intervalo, como mostra a equação abaixo.

$\Delta {t}=t_{2}-t_{1}$

Referencial e referencial angular

Um referencial é um ponto no espaço onde se localiza a origem do vetor posição $\scriptstyle {\vec {S}}$ de um corpo ou de uma partícula. O conceito de referencial angular é semelhante. O referencial angular é o ponto no espaço onde se localiza a origem do vetor posição angular $\scriptstyle {\vec {\theta }}$ de um corpo ou de uma partícula em movimento circular.

Posição e posição angular

A posição é uma grandeza vetorial com origem no ponto denominado referencial. A posição um corpo pode variar com o tempo, sendo portanto uma função do tempo.

A posição angular de um corpo, por sua vez, é uma grandeza vetorial com origem no ponto denominado referencial angular. O módulo do vetor posição angular é proporcional à rotação da partícula e sua direção é perpendicular ao eixo de rotação. O sentido do vetor posição angular indica o sentido da rotação (horário ou anti-horário), de acordo com a regra da mão direita.

Trajetória

A trajetória de uma partícula no intervalo de tempo $\scriptstyle [t_{1},t_{2}]$ é o conjunto infinito de todas posições $\scriptstyle {\vec {S}}$ ocupadas por esta partícula no intervalo $[t_{1},t_{2}]$.

Deslocamento e deslocamento angular

O deslocamento de uma partícula é o vetor resultante da diferença entre os vetores posição final $\scriptstyle {\vec {S}}_{2}$ e posição inicial $\scriptstyle {\vec {S}}_{1}$ de uma partícula, sendo estes, respectivamente, as posições ocupadas por esta partícula nos instante $\scriptstyle t_{2}$ e $\scriptstyle t_{1}$.

$\Delta {\vec {S}}={\vec {S}}_{2}-{\vec {S}}_{1}$

O conceito de deslocamento angular é semelhante e se refere à diferença entre os vetores posição angular final $\scriptstyle {\vec {\theta }}_{2}$ e posição angular inicial $\scriptstyle {\vec {\theta }}_{1}$, sendo estes, respectivamente, as posições angulares ocupadas por esta partícula nos instante $\scriptstyle t_{2}$ e $\scriptstyle t_{1}$.

$\Delta {\vec {\theta }}={\vec {\theta }}_{2}-{\vec {\theta }}_{1}$

Estudo do movimento retilíneo

Movimento retilíneo é aquele onde o corpo se move ao longo de uma reta suporte. A discussão a seguir trata sobre algumas das principais variáveis relacionadas ao movimento retilíneo dos corpos: posição, velocidade e aceleração.

Velocidade

Suponha que, para cada $\scriptstyle t\in [t_{1},t_{2}]$, uma determinada partícula possua uma posição $\scriptstyle {\vec {S}}$. A velocidade de um corpo pode ser definida como a razão entre o deslocamento deste corpo e a duração deste intervalo de tempo. Como mostra a equação a seguir.

${\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {S}}}{\Delta {t}}}$

Se necessitamos saber a velocidade momentânea desta mesma partícula em um dado instante $\scriptstyle t$ precisamos determinar o deslocamento do corpo em um intervalo infinitesimal de tempo, o que pode ser realizado através das regras de derivação, como apresentado a seguir.

${\vec {v}}=\lim _{\Delta {t}\to 0}{\frac {\Delta {\vec {S}}}{\Delta {t}}}={\frac {d{\vec {S}}}{dt}}$

Problema: posição da partícula a partir da velocidade

Enunciado: Uma partícula possui uma velocidade $\scriptstyle {\vec {v}}$ para todo $\scriptstyle t\in [t_{1},t_{2}]$. Qual a posição $\scriptstyle {\vec {S}}$ da partícula para qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Solução: se a equação que descreve a velocidade da partícula é a derivada da função que descreve sua posição então a equação que descreve sua posição é a integral da equação que descreve sua velocidade. Se

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {S}}}{dt}}$

então

$\int {\vec {v}}dt=\int {\frac {d{\vec {S}}}{dt}}dt$

logo

${\vec {S}}=\int {\vec {v}}dt$

Problema: posição da partícula em movimento retilíneo uniforme

Enunciado: Uma partícula possui uma velocidade $\scriptstyle {\vec {v}}$ constante e diferente de zero para todo $\scriptstyle t\in [t_{1},t_{2}]$. Qual a posição $\scriptstyle {\vec {S}}$ da partícula para qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Solução: Quando uma partícula possui velocidade constante e diferente de zero, dizemos que ela está em movimento retilíneo uniforme. Se a velocidade é constante então

$\int {{\vec {v}}dt}=t{\vec {v}}+{\vec {k}}$.

Visto que, se

$t=0\Rightarrow {\vec {S}}={\vec {k}}$

então

${\vec {k}}={\vec {S}}_{0}$,

logo

${\vec {S}}=t{\vec {v}}+{\vec {S}}_{0}$.

Aceleração

Se, para cada $\scriptstyle t\in [t_{1},t_{2}]$, uma partícula possui uma velocidade $\scriptstyle {\vec {v}}$ dependente de $\scriptstyle t$, podemos considerar a aceleração desta partícula como a razão entre a diferença das velocidades final $\scriptstyle {\vec {v}}_{2}$ e inicial $\scriptstyle {\vec {v}}_{1}$ desta partícula e a duração deste intervalo, como mostra a equação seguinte.

${\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta {t}}}$

Da mesma forma mostrada anteriormente, se necessitamos saber a aceleração momentânea desta partícula em um dado instante $\scriptstyle t$ qualquer, precisado determinar a variação da velocidade desta partícula em um intervalo infinitesimal de tempo, como apresentado a seguir.

${\vec {a}}=\lim _{\Delta {t}\to 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta {t}}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

Problema: aceleração da partícula em movimento retilíneo uniforme

Enunciado: Uma partícula está em movimento retilíneo uniforme em $\scriptstyle [t_{0},t_{n}]$. Qual é a sua aceleração para todo $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Solução: Se $\scriptstyle {\vec {v}}$ é constante então pela regra da derivada da constante

${\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta {t}}}=0$

para todo $\scriptstyle t\in [t_{1},t_{2}]$.

Problema: velocidade da partícula a partir da aceleração

Enunciado: Uma partícula possui uma aceleração $\scriptstyle {\vec {a}}$ para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$. Qual é a velocidade $\scriptstyle {\vec {v}}$ desta partícula para qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Solução: A equação que descreve a aceleração de uma partícula é a derivada da equação que descreve sua velocidade, logo a equação que descreve a velocidade de uma partícula é a primitiva da equação que descreve sua aceleração. Se

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

então, integrando ambos os lados em relação ao tempo obtem-se

$\int {\vec {a}}dt=\int {{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}dt}$,

logo

${\vec {v}}=\int {{\vec {a}}dt}$

Problema: velocidade da partícula em movimento retilíneo uniformemente variado

Enunciado: Uma partícula possui aceleração constante $\scriptstyle {\vec {a}}\neq 0$ para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$. Qual é a velocidade $\scriptstyle {\vec {v}}$ desta partícula para qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Solução: Quando uma partícula possui aceleração constante dizemos que ela está em movimento retilíneo uniformemente variado. Se a aceleração é constante então

$\int {{\vec {a}}dt}=t{\vec {a}}+{\vec {k}}$.

Visto que, se

$t=0\Rightarrow {\vec {v}}={\vec {k}}$

então

${\vec {k}}={\vec {v}}_{0}$,

logo

${\vec {v}}=t{\vec {a}}+{\vec {v}}_{0}$.

Problema: posição da partícula em movimento retilíneo uniformemente variado

Enunciado: Uma partícula em movimento retilíneo uniformemente variado no intervalo $\scriptstyle [t_{0},t_{n}]$. Como determinar a sua posição para qualquer $\scriptstyle t$ neste intervalo?

Solução: Conforme visto anteriormente

${\vec {v}}=\int {\vec {a}}dt$,

e

${\vec {S}}=\int {\vec {v}}dt$.

Como visto no problema sobre a velocidade da partícula em movimento retilíneo uniformemente variado, se a aceleração é constante então

${\vec {v}}=t{\vec {a}}+{\vec {v}}_{0}$,

assim

${\vec {S}}=\int {\left(t{\vec {a}}+{\vec {v}}_{0}\right)}dt={\frac {1}{2}}t^{2}{\vec {a}}+t{\vec {v}}_{0}+{\vec {k}}$.

Visto que, se

$t=0\Rightarrow {\vec {S}}={\vec {k}}$

então

${\vec {k}}={\vec {S}}_{0}$,

logo

${\vec {S}}={\frac {1}{2}}t^{2}{\vec {a}}+t{\vec {v}}_{0}+{\vec {S}}_{0}$.

Problema: aceleração da partícula a partir da posição

Enunciado: A posição $\scriptstyle {\vec {S}}$ de uma partícula varia no intervalo $\scriptstyle [t_{0},t_{n}]$. Qual a sua aceleração $\scriptstyle {\vec {a}}$ em qualquer instante $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Solução: Se

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

e

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {S}}}{dt}}$

então

${\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {S}}}{dt^{2}}}$

Estudo do movimento circular

O movimento circular, como o nome indica, é aquele movimento encontrado em corpos ou partículas que rotacionam em torno de um eixo. O movimento circular é, portanto, o oposto do movimento linear. Muitos conceitos e grandezas relacionadas ao movimento circular são semelhantes àquelas relacionadas ao movimento linear, como pode ser verificado nos tópicos seguintes.

Velocidade angular

Se, para cada $\scriptstyle t\in [t_{1},t_{2}]$ uma partícula possui uma posição angular $\scriptstyle {\vec {\theta }}$ dependente de $\scriptstyle t$, então podemos considerar a velocidade angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ como a grandeza que representa a variação $\scriptstyle \Delta {\vec {\theta }}$ da posição angular neste mesmo intervalo de tempo, como mostra a equação a seguir.

${\vec {\omega }}={\frac {\Delta {\vec {\theta }}}{\Delta t}}$

Se necessitamos determinar a variação da posição angular desta mesma partícula em um intervalo infinitesimal de tempo, podemos utilizar dos conhecimentos de derivação para tal, como mostra a equação a seguir.

${\vec {\omega }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\theta }}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {\theta }}}{dt}}$

Problema: velocidade angular de uma partícula em repouso

Enunciado: Uma partícula possui posição angular $\scriptstyle {\vec {\theta }}$ constante para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$. Qual é a velocidade angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ desta partícula para qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Comentário: Quando uma partícula possui posição angular $\scriptstyle {\vec {\theta }}$ constante para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$ dizemos que ela está em repouso neste intervalo.

Solução: Se $\scriptstyle {\vec {\theta }}$ é constante então

${\frac {d{\vec {\theta }}}{dt}}=0$

pela regra da derivada da constante.

Problema: posição angular de uma partícula a partir de sua velocidade angular

Enunciado: Uma partícula possui uma velocidade angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$, qual é a a posição angular desta partícula em qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Solução: Se a equação que descreve a velocidade angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ da partícula é a derivada da equação que descreve sua posição angular $\scriptstyle {\vec {\theta }}$ em relação ao tempo, então a equação que descreve sua posição angular $\scriptstyle {\vec {\theta }}$ é a primitiva da equação que descreve sua velocidade angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ em relação ao tempo. Se

${\vec {\omega }}={\frac {d{\vec {\theta }}}{dt}}$,

então

$\int {\vec {\omega }}dt=\int {\frac {d{\vec {\theta }}}{dt}}dt$,

logo

${\vec {\theta }}=\int {\vec {\omega }}dt$.

Problema: posição angular de uma partícula em movimento circular uniforme

Enunciado: Uma partícula possui velocidade angular constante $\scriptstyle {\vec {\omega }}\neq 0$ para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$, qual é a a posição angular desta partícula em qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Comentário: Quando uma partícula que apresenta velocidade angular constante $\scriptstyle {\vec {\omega }}\neq 0$ para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$ dizemos que ela está em movimento circular uniforme (MCU).

Solução: Se a velocidade angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ é constante, então

$\int {\vec {\omega }}dt=t{\vec {\omega }}+{\vec {k}}$.

Visto que, se

$t=0\Rightarrow {\vec {\theta }}={\vec {k}}$

então

${\vec {k}}={\vec {\theta }}_{0}$,

logo

${\vec {\theta }}=t{\vec {\omega }}+{\vec {\theta }}_{0}$.

Aceleração angular

Se, para cada $\scriptstyle t\in [t_{1},t_{2}]$ uma partícula possui uma velocidade angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ dependente de $\scriptstyle t$, então podemos considerar a aceleração angular desta partícula como a razão entre a variação da velocidade angular da mesma neste intervalo e a duração do intervalo, como mostra a equação a seguir.

${\vec {\alpha }}={\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}$

Para um intervalo infinitesimal de tempo, podemos considerar a velocidade desta partícula como a derivada da equação que descreve a sua velocidade, como mostrado a seguir.

${\vec {\alpha }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}$

Problema: aceleração angular de uma partícula em repouso

Enunciado: Uma partícula possui posição angular $\scriptstyle {\vec {\theta }}$ constante para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$. Qual a sua aceleração $\scriptstyle {\vec {\alpha }}$ para qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Solução: Como visto anteriormente, se

${\vec {\omega }}=0$

para $\scriptstyle {\vec {\theta }}$ constante, então, pela regra da derivada da constante

${\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=0$

Problema: velocidade angular de uma partícula a partir de sua aceleração angular

Enunciado: Uma partícula possui uma aceleração angular $\scriptstyle {\vec {\alpha }}$ para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$. Qual é a velocidade angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ desta partícula para qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Solução: Se a equação que descreve a aceleração $\scriptstyle {\vec {\alpha }}$ da partícula em função do tempo é a derivada da equação que descreve sua velocidade em relação ao tempo, então a equação que descreve a sua velocidade é a primitiva da equação que descreve sua aceleração em relação ao tempo. Se

${\vec {\alpha }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}$

então

$\int {\vec {\alpha }}dt=\int {\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}dt$,

logo

${\vec {\omega }}=\int {\vec {\alpha }}dt$.

Problema: velocidade angular de uma partícula em movimento circular uniformemente variado

Enunciado: Uma partícula possui uma aceleração angular $\scriptstyle {\vec {\alpha }}\neq 0$ para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$. Qual é a velocidade angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ desta partícula para qualquer $\scriptstyle t$ deste intervalo?

Comentário: Quando uma partícula possui aceleração angular $\scriptstyle {\vec {\alpha }}\neq 0$ para todo $\scriptstyle t\in [t_{0},t_{n}]$ dizemos que esta está em movimento circular uniformemente variado (MCUV).

Solução: Para $\scriptstyle {\vec {\alpha }}$ constante

$\int {\vec {\alpha }}dt=t{\vec {\alpha }}+{\vec {k}}$.

Visto que, se

$t=0\Rightarrow {\vec {\omega }}={\vec {k}}$

então

${\vec {k}}={\vec {\omega }}_{0}$

logo

${\vec {\omega }}=t{\vec {\alpha }}+{\vec {\omega }}_{0}$

Dinâmica

Dinâmica é o ramo da física que estuda as causas dos movimentos dos corpos. O estudo da dinâmica é baseado nas observações de Newton sobre o movimento dos corpos. A leis de Newton explicam detalhes importantes a respeito dos padrões que governam estes movimentos.

As leis de Newton

As seguintes leis foram observadas por Newton, que as publicou de uma forma um pouco diferente em seu trabalho intitulado Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

1. Todo corpo tende a permanecer em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme até que uma força atue sobre ele.
2. A mudança do momento linear de um corpo é proporcional ao impulso que lhe é impresso e ocorre na mesma direção e sentido deste.
3. A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade.

Juntas, estas três leis resumem o estudo da dinâmica.

Inércia

A primeira lei de Newton nos apresenta ao conceito de inércia. Inércia é o estado do corpo sobre o qual não há força resultante. Um corpo em inércia tende a continuar em repouso, se estiver em repouso, ou em movimento retilíneo uniforme, se estiver em movimento retilíneo uniforme.

Repare que, ao dizermos que sobre um corpo em inércia não há força resultante, não estamos dizendo que não há nenhuma força atuando sobre este corpo, mas que a somatória de todas as forças é um vetor nulo.

Força

Força, como nos diz a primeira lei, é a grandeza física capaz de alterar o estado de inércia de um corpo, aplicando-lhe, portanto, uma aceleração. Pelo conceito matemático de força, é a grandeza vetorial que indica a variação do momento linear $\scriptstyle {\vec {P}}$ de um corpo em um intervalo infinitesimal de tempo. A equação a seguir resume este conceito.

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {P}}}{dt}}$

Momento linear

Momento linear ou quantidade de movimento linear é a grandeza vetorial resultante do produto entre a massa de um corpo e a sua velocidade. O momento linear de uma partícula qualquer de massa m com uma velocidade v é expresso na equação abaixo.

${\vec {P}}=m{\vec {v}}$

Problema: momento linear de um corpo de massa constante sobre o qual atua uma força resultante

Enunciado: Sobre um corpo de massa constante atua uma força resultante $\scriptstyle {\vec {F}}$ qualquer. Qual é o momento linear $\scriptstyle {\vec {P}}$ deste corpo?

Solução: Se a equação que descreve a força aplicada a um corpo rígido é a derivada da equação que descreve seu momento linear, então a equação que descreve seu momento linear é a primitiva da equação que descreve a sua força. Se

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {P}}}{dt}}$

então, integrando ambos os lados em relação ao tempo

$\int {\vec {F}}dt=\int {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}dt$,

logo

${\vec {P}}=\int {\vec {F}}dt$

Problema: momento linear de um corpo de massa constante sobre o qual atua uma força resultante constante

Enunciado: Qual é o momento linear de um corpo de massa constante $\scriptstyle m>0$ sobre o qual atua uma força resultante constante $\scriptstyle {\vec {F}}$ qualquer?

Solução: Se a força $\scriptstyle {\vec {F}}$ é constante, então

$\int {\vec {F}}dt=t{\vec {F}}+{\vec {k}}$.

Visto que, se

$t=0\Rightarrow {\vec {P}}={\vec {k}}$

então

${\vec {k}}={\vec {P}}_{0}$,

logo

${\vec {P}}=t{\vec {F}}+{\vec {P}}_{0}$.

Problema: força aplicada a um corpo rígido de massa constante

Enunciado: Qual é a força $\scriptstyle {\vec {F}}$ necessária para imprimir uma aceleração $\scriptstyle {\vec {a}}$ qualquer a um corpo rígido de massa constante $\scriptstyle m>0$?

Solução: Se $\scriptstyle m$ é constante, então pela regra da derivada da constante

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\frac {d(m{\vec {v}})}{dt}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$.

Pela definição de aceleração linear

${\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {a}}$,

logo

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$,

Impulso

Impulso $\scriptstyle {\vec {I}}$ é grandeza física vetorial resultante da somatória de todas as forças resultantes $\scriptstyle {\vec {F}}$ aplicadas a uma partícula em um determinado intervalo de tempo $\scriptstyle [t_{0},t]$. É uma grandeza fortemente relacionada com o momento linear e possui, inclusive, a mesma unidade de medida no sistema internacional de unidades, o $\scriptstyle {\textrm {N}}\cdot {\textrm {s}}$ (newton segundo).

${\vec {I}}=\int _{t_{0}}^{t_{n}}{\vec {F}}dt$

Problema: determinação do impulso aplicado a uma partícula sobre a qual atua uma força resultante constante

Enunciado: Sobre uma partícula atua uma força $\scriptstyle {\vec {F}}>0$ constante no intervalo de tempo $\scriptstyle [t_{0},t_{n}]$. Qual é a força $\scriptstyle {\vec {F}}$ total aplicada a esta partícula neste intervalo?

Solução: Pela definição de impulso

${\vec {I}}=\int _{t_{0}}^{t_{n}}{\vec {F}}dt$.

Para $\scriptstyle {\vec {F}}$ constante

${\vec {I}}=t_{n}{\vec {F}}-t_{0}{\vec {F}}$,

logo,

${\vec {I}}=\Delta t{\vec {F}}$.

Repare que podemos também considerar que $\scriptstyle t{\vec {F}}={\vec {P}}$ e, portanto, $\scriptstyle t_{0}{\vec {F}}={\vec {P}}_{0}$, assim

${\vec {I}}={\vec {P}}-{\vec {P}}_{0}$

ou

${\vec {I}}=\Delta {\vec {P}}$.

Momento angular

O momento angular $\scriptstyle {\vec {L}}$ de uma partícula é uma grandeza vetorial resultante do produto vetorial entre o raio de rotação $\scriptstyle {\vec {r}}$ de uma partícula e seu momento linear $\scriptstyle {\vec {P}}$. O vetor momento angular é, portanto, perpendicular a estes dois vetores, possuindo a mesma direção do vetor velocidade angular. A equação seguinte descreve o conceito de momento angular.

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$