Álgebra abstrata

A Àlgebra Abstrata é o desenvolvimento de certas consequências lógicas de se dotar um conjunto de relações internas entre seus elementos, seguindo certas normas, ou de relações entre os elementos desse conjunto com elementos de outros conjuntos. Por exemplo: digamos que existe um conjunto A={a,b,c,d}. Seja o produto cartesiano A x A ={(a,a);(a,b);(a,c);(a,d);(b,a);...etc} Seja uma função F:A x A -->A que associa cada par de elementos de A a um único elemento de A. Se F(a,b)=c,podemos escrever alternativamente a#b=c e podemos ler assim: a operado com b é igual a c.Existem muitos tipos de operações diferentes dentro de um conjunto, uma para cada resultado possível. O símbolo # foi escolhido ao acaso e podia ser qualquer outro. No conjunto dos naturais a soma 3+2=5 e o produto 4 x 5=20 são algumas das operações possíveis entre infinitas outras.Na verdade uma operação no conjunto A é um conjunto de triplas de elementos de A onde o terceiro elemento de cada tripla é dito resultado da operação entre os dois primeiros. Ilustrando:

1. ={[(a,b),c)];[(d,c),a]...etc}.

Digamos que haja uma operação dentro de A onde a#x=x e x#a=x, para qualquer x, elemento de A, diz-se que o elemento "a" é uma unidade em A quanto a operação # e que essa é uma operação com "unidade". Digamos uma operação # em A possui uma unidade "a". Se, para qualquer x, elemento de A, puder ser encontrado um y, elemento de A, e x#y=1 e y#x=1, dizemos que # é uma operação que admite elemento inverso. Conjuntos com operações com propriedades especiais como essas recebem nomes tais como "grupo", "anel", "corpo" e são o objeto de estudo da álgebra abstrata.