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Revisão das 19h07min de 1 de julho de 2008

Tabela Price é um método usado em amortização de empréstimo, construído segundo seu autor Richard Price(p.262-287,1803- 1812), por juros compostos (anatocismo [1]), caracterizado por prestações iguais e desenvolvido em 1771 pelo reverendo presbiteriano Richard Price.

Existem questionamentos sobre se a Tabela Price emprega juros compostos (anatocismo [2]), ou juros simples. Entretanto, a questão matemática fica superada quando nos deparamos com a afirmativa do próprio Richard Price de que suas tabelas são construídas por juro composto (p.262-287,1803- 1812). Além de o próprio Richard Price selar esta questão, pois ele é o autor da obra, em recente declaração, documentada, os principais autores de matemática financeira do Brasil assinaram um manifesto cuja tônica é a afirmativa de que a Tabela Price é construída com base no regime de capitalização por juro composto[3]. Destaca-se também que o próprio Banco Central do Brasil expõe textualmente que a referida metodologia é concebida pelo regime de juros composto com capitalização mensal (vide no Banco Central do Brasil -Metodologia em calculadora do cidadão[4]

Introdução

O método de amortização baseado nas tabelas de Richard Price, na realidade foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi a partir da 2ª revolução industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para cálculos de amortização de empréstimo.

A principal característica da tabela Price, ou Sistema Francês de Amortização, são as prestações iguais denominadas por tabelas de juro composto (progressão geométrica - P.G.) pelo seu autor Richard Price em sua obra Observations on Reversionary Payments.

Origens

Em fevereiro de 1723, início da revolução industrial nasce na Inglaterra Richard Price. Em 1740, após a morte de seu pai, Rhys Price, ministro calvinista de linha extremamente puritana e disciplinadora, o jovem Richard então com 17 anos muda-se para casa de seu tio Samuel Price em Londres. É nessa cidade que seus estudos foram completados na C. Academy, em Tenter Ailey, Moorfields., adquirindo instrução e influência de John Eames, matemático e amigo muito próximo do então falecido Isaac Newton. Price permaneceu estudando até vindo a tornar-se ministro presbiteriano em 1748. Sua primeira assistência como ministro religioso foi para George Streatfield, um rico homem de negócios, que ao morrer deixou-lhe substanciosa herança. Tal fato, de certa forma, propiciou a tranqüilidade financeira que Price precisava para escrever, dando-se ao luxo de assumir uma pequena, porém ativa produção literária.

Em 1758 Price publica Review of the Principal Questions in Morals. Obra, á qual é considerada por muitos historiadores ingleses, como a mais importante de seu repertório. Pois, na verdade, e até hoje, Price é mais reconhecido por seus textos filosóficos, do que pelos seus estudos de matemática. Seus escritos provocaram um grande impacto na sociedade moralista e conservadora inglesa da época, pois propunham uma ampla revisão liberal das principais questões morais da época em uma Inglaterra conservadora e em transição para o Capitalismo Industrial.

Em 1769, a pedido da Equitable Society da Inglaterra (seguradora Inglesa), o Reverendo Richard Price produz uma de suas obras mais célebres no campo da estatística, Northampton Mortality Tables (Tábuas de Mortalidade de Northampton). Foram essas tábuas que serviram para posicionar a seguradora sobre as probabilidades de vida e de morte na Inglaterra, que serviriam como base de cálculo para seguro e aposentadoria. No entanto, viria a se descobrir mais tarde que as bases de cálculos das suas tábuas de mortalidade continham graves erros. Tal falha, além, das bases de dados inadequadas, foi originada principalmente pela estimativa invertida, muito acima da taxa de mortalidade nas pessoas mais jovens e abaixo nas pessoas mais velhas.

Mais grave, ele parece ter subestimado as expectativas de vida, com o resultado de que os prêmios dos seguros de vida foram muito maiores do que necessário.

"A Equitable Society floresceu graças a esse erro; o governo Britânico, usando as mesmas tabelas para determinar os pagamentos de anuidades aos seus pensionistas, amargou prejuízos. (BERSTEIN, 1996, p.130)"

A partir da elaboração dessas tábuas de mortalidade, Price publica, em 1771, Observations on Reversionary Payments (Observação sobre Devolução de Pagamentos Reversíveis), que viria a ser editada até a 7ª edição em 1812.

No entanto, é a partir de do prelúdio da segunda Revolução Industrial que a tabela Price ganha força na França como método de amortização de empréstimo pela necessidade de massificação de consumo, daí as origens do nome, Sistema Francês de amortização.

Cálculo

O processo de cálculo da tabela price é iterativo. Tomando como exemplo um empréstimo de R$ 30.000,00 para ser pago em 48 parcelas mensais, com juros de 1% ao mês.

A cada mês a partir do primeiro deve-se calcular o saldo devedor pelo seguinte processo:

Multiplicar o saldo devedor do mês anterior por $1+Juros$ ;
Subtrair o valor a ser pago;
No último mês o saldo devedor deverá ser igual à zero.

Para determinar-se o valor da prestação deve-se repetir este processo por várias vezes até que obtenha o valor da prestação que satisfaz a última condição.

Por este método sabe-se que o valor da prestação será R$ 790,02. Desta forma têm-se a seguinte tabela:

Mês	Juros	Amortização	Saldo Devedor	Cálculo para próximo mês
0			R$ 30.000,00	R$ 30.300,00
1	R$ 300,00	R$ 490,02	R$ 29.509,98	R$ 29.805,08
2	R$ 295,10	R$ 494,92	R$ 29.015,07	R$ 29.305,22
3	R$ 290,15	R$ 499,86	R$ 28.515,21	R$ 28.800,36
4	R$ 285,15	R$ 504,86	R$ 28.010,34	R$ 28.290,45
5	R$ 280,10	R$ 509,91	R$ 27.500,43	R$ 27.775,44
6	R$ 275,00	R$ 515,01	R$ 26.985,42	R$ 27.255,27
7	R$ 269,85	R$ 520,16	R$ 26.465,26	R$ 26.729,91
8	R$ 264,65	R$ 525,36	R$ 25.939,90	R$ 26.199,30
9	R$ 259,40	R$ 530,62	R$ 25.409,28	R$ 25.663,37
10	R$ 254,09	R$ 535,92	R$ 24.873,36	R$ 25.122,09
11	R$ 248,73	R$ 541,28	R$ 24.332,08	R$ 24.575,40
12	R$ 243,32	R$ 546,69	R$ 23.785,38	R$ 24.023,24
13	R$ 237,85	R$ 552,16	R$ 23.233,22	R$ 23.465,55
14	R$ 232,33	R$ 557,68	R$ 22.675,54	R$ 22.902,29
15	R$ 226,76	R$ 563,26	R$ 22.112,28	R$ 22.333,40
16	R$ 221,12	R$ 568,89	R$ 21.543,39	R$ 21.758,82
17	R$ 215,43	R$ 574,58	R$ 20.968,81	R$ 21.178,49
18	R$ 209,69	R$ 580,33	R$ 20.388,48	R$ 20.592,36
19	R$ 203,88	R$ 586,13	R$ 19.802,35	R$ 20.000,37
20	R$ 198,02	R$ 591,99	R$ 19.210,36	R$ 19.402,46
21	R$ 192,10	R$ 597,91	R$ 18.612,44	R$ 18.798,57
22	R$ 186,12	R$ 603,89	R$ 18.008,55	R$ 18.188,64
23	R$ 180,09	R$ 609,93	R$ 17.398,62	R$ 17.572,61
24	R$ 173,99	R$ 616,03	R$ 16.782,60	R$ 16.950,42
25	R$ 167,83	R$ 622,19	R$ 16.160,41	R$ 16.322,01
26	R$ 161,60	R$ 628,41	R$ 15.532,00	R$ 15.687,32
27	R$ 155,32	R$ 634,70	R$ 14.897,30	R$ 15.046,27
28	R$ 148,97	R$ 641,04	R$ 14.256,26	R$ 14.398,82
29	R$ 142,56	R$ 647,45	R$ 13.608,81	R$ 13.744,89
30	R$ 136,09	R$ 653,93	R$ 12.954,88	R$ 13.084,43
31	R$ 129,55	R$ 660,47	R$ 12.294,41	R$ 12.417,36
32	R$ 122,94	R$ 667,07	R$ 11.627,34	R$ 11.743,62
33	R$ 116,27	R$ 673,74	R$ 10.953,60	R$ 11.063,14
34	R$ 109,54	R$ 680,48	R$ 10.273,12	R$ 10.375,85
35	R$ 102,73	R$ 687,28	R$ 9.585,84	R$ 9.681,70
36	R$ 95,86	R$ 694,16	R$ 8.891,68	R$ 8.980,60
37	R$ 88,92	R$ 701,10	R$ 8.190,58	R$ 8.272,49
38	R$ 81,91	R$ 708,11	R$ 7.482,47	R$ 7.557,30
39	R$ 74,82	R$ 715,19	R$ 6.767,28	R$ 6.834,96
40	R$ 67,67	R$ 722,34	R$ 6.044,94	R$ 6.105,39
41	R$ 60,45	R$ 729,57	R$ 5.315,38	R$ 5.368,53
42	R$ 53,15	R$ 736,86	R$ 4.578,51	R$ 4.624,30
43	R$ 45,79	R$ 744,23	R$ 3.834,28	R$ 3.872,63
44	R$ 38,34	R$ 751,67	R$ 3.082,61	R$ 3.113,44
45	R$ 30,83	R$ 759,19	R$ 2.323,42	R$ 2.346,66
46	R$ 23,23	R$ 766,78	R$ 1.556,64	R$ 1.572,21
47	R$ 15,57	R$ 774,45	R$ 782,19	R$ 790,02
48	R$ 7,82	R$ 782,19	R$ 0,00
Soma	R$ 7.920,72	R$30.000,00

As colunas tem os seguintes significados:

Juros: A quantidade de juros acrescentados ao saldo devedor na transição do mês anterior para o atual devido a juros;
Amortização: O quanto da dívida foi paga, levando-se em consideração os juros;
Saldo Devedor: O quanto da dívida está pendente para ser paga;
Cálculo para próximo mês: O valor da dívida do mês somada aos juros, do qual será reduzido o pagamento do próximo mês para cálculo do próximo saldo devedor.

Nota-se que, caso seja interpretado que a amortização paga primeiro os juros e depois reduz o saldo devedor, então em nenhum momento são cobrados juros compostos, mas apenas juros simples. Caso seja interpretado que a amortização paga primeiro o saldo devedor, então são cobrados juros compostos.

De acordo com Nogueira (2008, p.119-122) para se constatar facilmente a existência de juros sobre juros na tabela Price o problema a ser resolvido é: será que o juro resultante das parcelas foi obtido sobre um determinado capital mais juro sobre juro?

Usando a tabela acima como exemplo e supondo que desejemos obter o valor do juro da quarta parcela procedemos da seguinte forma:

1º passo

Pegue o Capital e deduza as parcelas pagas 30.000 – (3x 790,02)= 27.629,94

2º passo

Pegue o resultado do 1º passo e adicione o juro sobre juro das parcelas que foram pagas (use a tabela acima) 27.629,94 +300,00(juros da 1ª Parcela) +295,10 (juros da 2ª parcela) + 290,15 (juros da terceira parcela)=28.515,19

3º passo

Para se obter o juro do quarto mês, basta multiplicar o resultado do 2º passo, cujo valor demonstra o Capital mais juro sobre juro, pela taxa do exemplo da tabela (no caso 1%) 28.515,19 x 1% =285,15.

Desta forma se comprova que não se deduz os juros pagos nas parcelas no saldo devedor, ou seja, eles ficam incorporados. Tal fato comprova a existência do anatocismo ou juros compostos na tabela Price.

Método Analítico

Aplicando a regra de Price sucessivamente observa-se que o saldo devedor para um período $n$ pode ser escrito na forma:

S_{n}=(1+j)S_{n-1}-p\,

Onde:

$S_{n}$ , n natural: Saldo devedor no período n;
j: Taxa de juros, 1% equivale à 0.01;
p: Valor da prestação;

Ou seja:

{\frac {S_{n}}{(1+j)}}=S_{n-1}-{\frac {p}{(1+j)}}\,

mas $S_{n-1}=(1+j)S_{n-2}-p\,$ , logo:

{\frac {S_{n}}{(1+j)^{2}}}=S_{n-2}-{\frac {p}{(1+j)}}-{\frac {p}{(1+j)^{2}}}\,

{\begin{matrix}\vdots \end{matrix}}\,

{\frac {S_{n}}{(1+j)^{n}}}=S_{n-n}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {p}{(1+j)^{i}}}\,

Considerando que o saldo final S_n é zero e que o saldo inicial S₀ é P:

0=P-\sum _{i=1}^{n}{\frac {p}{(1+j)^{i}}}\,

Aplicando-se a fórmula da soma de uma progressão geométrica e rearrumando:

P={\frac {p}{j}}(1-{\frac {1}{(1+j)^{N}}})\,

Situação atual do uso da tabela Price

No Brasil, a interpretação matemática da existência de juro composto (vide termo sinônimo no STJ)[5]) na Tabela Price fica condicionada a fórmula anterior, que estabelece como regra geral na formação dos juros embutidos nas parcelas uma progressão Geométrica decrescente, ou seja do maior para o menor.

Apesar de amplamente utilizada em todo o mundo ocidental, a metodologia de cálculo é discutida em alguns países do mundo, uma vez que os grandes interesses financeiros tentam burlar a legislação dos países que proibem a capitalização de juros.

Embora a tabela Price ou Sistema Francês de Amortização seja também muito utilizada no Brasil pelo mercado e segmentos financeiros, seu uso tem sido contestado perante a justiça brasileira, uma vez que a legislação brasileira permite o uso de juros compostos somente em determinadas operações que possuam previsão legal.

"A aplicação da Tabela Price aos contratos de prestações diferidas no tempo impõe excessiva onerosidade aos mutuários devedores do SFH, pois no sistema em que a mencionada Tabela é aplicada, os juros crescem em progressão geométrica, sendo que, quanto maior quantidade de parcelas a serem pagas, maior será a quantidade de vezes que os juros se multiplicam por si mesmos, tornando o contrato, quando não impossível de se adimplir, pelo menos abusivo em relação ao mutuário, que vê sua dívida se estender indefinidamente e o valor do imóvel exorbitar até transfigurar-se inacessível e incompatível ontologicamente com os fins sociais do Sistema Financeiro da Habitação." (Min José Delgado, STJ, REsp 668795 / RS ; Recurso Especial2004/0123972-0, 2005)

Assim reza a Súmula 121 do Supremo Tribunal Federal (STF) Brasileiro: “É vedada a capitalização mensal de juros, ainda que expressamente convencionada”

É muito conhecido o trecho do texto de Price para definir a transferência de renda pelo juro composto de suas tabelas:

Um centavo de libra emprestado na data de nascimento de nosso Salvador a um juro composto de cinco por cento teria, no presente ano de 1781, resultado em um montante maior do que o contido em DUZENTOS MILHÕES de Terras, todas de ouro maciço. Porém, caso ele tivesse sido emprestado a juro simples ele teria, no mesmo período, totalizado não mais do que SETE XELINS E SEIS CENTAVOS.(Nogueira, 2002, Tabela price da Prova Documental e Precisa elucidação de seu anatocismo)

Bibliografia

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CAVALHEIRO, Luiz A.F. Elementos de Matemática Financeira. Rio de Janeiro, Editora FGV, 11a ed., 1989.
NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: da Prova Documental e Precisa Elucidação do seu Anatocismo, Servanda Ed., 2002.
PEREIRA, Ernesto Luiz de Assis. Amortização de financiamentos por juros simples para o Sistema Financeiro da Habitação. Modelo de Gauss. No prelo
PRICE, Richard. Observations on Reversionary Payments. Londres: Ed. T. Cadell, 4ª ed., 1783; 6ª ed., 1803; e 7ª ed., 1812.
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CAMPOS FILHO, Ademar et al. Declaração em defesa de uma Ciência Matemá¬tica e Financeira. Disponível no site do Sindicato dos Economistas do Estado de São Paulo, www.sindecon-esp.org.br/force_download.php?file=arq_sys/neodownload/defesa150704.pdf&name=defesa 150704.pdf. Acesso em 9/2006.
LEWIN, F. I. A.; Early, F.S.S, N. Book on Compound Interest, Richard Witt’s Arithmeticall Questions. JIA, 1970, p. 121-132.
MARX, Karl. O Capital: Crítica da Economia Política; O Processo Global de Produção Capitalista. Cap. XXIV, vol. V, l. III . São Paulo: Nova Cultural, p. 455-456.
FIGUEIREDO, Alcio Manoel de Sousa. Tabela Price & Capitalização de Juros. Editora: Juruá ,2004
NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: Mitos e Paradigma Ed.Millennium, 2008.