Tabela Price

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Tabela Price, também chamado de sistema francês de amortização, é um método usado em amortização de empréstimo cuja principal característica é apresentar prestações (ou parcelas) iguais. O método foi apresentado em 1771 por Richard Price em sua obra "Observações sobre Pagamentos Remissivos" (em inglês: Observations on Reversionary Payments[1]).

O método foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi a partir da 2ª revolução industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para cálculos de amortização de empréstimo.

Cálculo[editar | editar código-fonte]

A tabela Price usa o regime de juros compostos para calcular o valor das parcelas de um empréstimo e, dessa parcela, há uma proporção relativa ao pagamento de juros e amortização do valor emprestado.

Tomemos como exemplo um empréstimo de $ 1.000,00 com taxa de juros de 3% ao mês a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar a fórmula de juros compostos combinada com a da progressão geométrica, resultando em:

bem como outras fórmulas equivalentes abaixo:
ou

, onde:

  • Valor da parcela (do inglês payment)
  • Valor Presente (do inglês Present Value)
  • Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
  • Número de períodos

No caso do exemplo, o cálculo da parcela é:

Tabela Price-Exemplo Gráfico de Amortização.gif

Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $ 1.030,00, porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo devedor passa a ser $ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $ 30,00 e também fez a amortização de $ 239,03 (1.000,00 - 760,97) do valor emprestado. O mesmo ocorre nos meses seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada mês o valor das parcelas relativo ao pagamento dos juros é decrescente.

Período Saldo Devedor
Parcela Juros Amortização(A)
0 1.000,00
1 760,97 269,03 30,00 239,03
2 514,78 269,03 22,83 246,20
3 261,19 269,03 15,44 253,58
4 0,00 269,03 7,84 261,19
  • Em Price, a expressão é chamada de Fatr de Recuperação de Capital.

Amortizações em Price[editar | editar código-fonte]

No sistema Price o valor das amortizações obedecem a uma progressão geométrica em função do Fator de Rendimento, conforme a expressão .

Demonstração:

A partir do exemplo anterior, com taxa de e valor da 1ª amortização , então, o valor da 4ª amortização se dá conforme: .

Descapitalização das parcelas no tempo[editar | editar código-fonte]

A fórmula de cálculo para o Valor Presente , em Price, é equivalente às somas das descapitalizações das parcelas no tempo, conforme as expressões a seguir:

Demonstração

Tomando por base o exemplo anterior, onde o montante de $ 1.000,00 à taxa de 3% a.m., durante 4 meses, resultando na parcela de $ 269,03 ao mês, a soma das descapitalizações dessas parcelas se dá conforme a seguir:

Nesse exemplo, o montante inicial se equipara às descapitalizações das parcelas pagas em cada período trazidas para a data presente, demonstrando, portanto, o valor presente líquido (VPL) do financiamento e a equivalência com o cálculo de Richard Price.

Polêmica sobre os juros[editar | editar código-fonte]

Não existem questionamentos sobre se a Tabela Price emprega juros simples ou juros compostos.

Richard Price, criador do método, afirma que suas tabelas são construídas por juros compostos (p.262-287,1803- 1812), jamais mencionando a existência de cobrança de juros sobre juros acumulados no empréstimo. Ainda, em julho de 2004, diversos autores de matemática financeira do Brasil assinaram um manifesto afirmando que a Tabela Price é construída com base no regime de capitalização por juros compostos[2]

Porem a Tabela usada para empréstimos no Brasil de um termo, contem juro composto e anatocismo e a segunda Tabela utilizada para calcular montantes para as seguradoras também contem juros compostos e anatocismo. Estudiosos brasileiros denominam estas duas Tabelas de Tabela Price. Já para empréstimos com pagamentos parcelados, mundialmente, é utilizada uma outra Tabela que não faz parte do estudo do Sr.Price (Sistema Francês de Amortização) que não contem nem juro composto e nem anatocismo mas é chamada de Tabela Price e é estudada na matemática financeira pelo desconto composto.[3][4]

Autores afirmam que o Sr. Price tomou as Tabelas de Juro Composto já existentes e incorporou ao seu livro para poupar os seus leitores de procurá-las em outros livros.

Afirmam também que utilizou a Tábua III  –  ( 1 + i ) n  –  para estudar a dívida da Coroa Inglesa e utilizou a Tábua IV – [( 1 + i ) n - 1] / i ) – para calcular as Reservas Técnicas para as Seguradoras que tinham problemas com os seus PECÚLIOS e RENDAS CERTAS.

Estas duas Tábuas que calculam MONTANTES, contêm Juro Composto e Anatocismo.

A Tábua III  é utilizada nos Empréstimos e Financiamentos, na Caderneta de Poupança, Títulos Público e Privado, FGTS, Fundos de Investimentos, Títulos de Capitalização.

A Tábua IV  calcula Reservas Técnicas para Seguradoras ( Pecúlios, Rendas Certas ), Fundo de Previdência, Fundo de Pensão.

O Sr. Price estudou também o cálculo do Valor do Benefício de RENDAS CERTAS aplicando a Tábua VI – i / [( 1 + i ) n - 1].

Estas três Tábuas são denominadas por Autores, Professores aqui no Brasil, como Tabela Price, mas não podem ser chamadas de Sistema Francês de Amortização que é utilizado para calcular o Valor da Prestação que utiliza a Tábua – i ( 1 + i )n / [(1 + i ) n - 1] – Tábua III dos nossos livros e não utilizada pelo Sr. Price e que está fundamentada no DESCONTO COMPOSTO.

Não pode ser confundido o cálculo do Valor do Benefício que contém Juro Composto e Anatocismo, com o cálculo do Valor da Prestação que Não Contém Juro Composto e Anatocismo[5]

Destaca-se também que Calculadora do Cidadão, aplicativo elaborado pelo Banco Central do Brasil, descreve a referida metodologia como concebida pelo regime de juros compostos[6].

O estudo dos juros compostos atualmente está sob análises no Superior Tribunal de Justiça em decorrência de divergências entre autores, professores, consultores e especialistas em Matemática Financeira. O STJ, na sua função nomofilácica, busca pacificar esta matéria.[7]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Richard Price, Observations on reversionary payments on schemes for providing annuities for widows, and for persons in old age; on the method of calculating the values of assurances on lives; and on the national debt : to which are added four essays ... also an appendix ...,[versão on-line]
  2. Manifesto em defesa da ciência matemática e financeira, no site do Sindicato dos Economistas de São Paulo
  3. "Origem do Sistema Frances de Amortização".
  4. "Os Trabalhos do Sr. Richard Price e o Sistema Frances de Amortização".
  5. «Matemática Financeira nos Tribunais de Justiça» (PDF). 
  6. Metodologia em calculadora do cidadão, site do Banco Central do Brasil
  7. «Função Nomofilácica do Superior Tribunal de Justiça - STJ» (PDF). 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • BOYER, C. História da matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 2002.
  • CAVALHEIRO, Luiz A.F. Elementos de Matemática Financeira. Rio de Janeiro, Editora FGV, 11a ed., 1989.
  • NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: da Prova Documental e Precisa Elucidação do seu Anatocismo, Servanda Ed., 2002.
  • NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: Mitos e Paradigma Ed.Millennium, 2008.
  • PEREIRA, Ernesto Luiz de Assis. Amortização de financiamentos por juros simples para o Sistema Financeiro da Habitação. Modelo de Gauss. No prelo
  • PRICE, Richard. Observations on Reversionary Payments. Londres: Ed. T. Cadell, 4ª ed., 1783; 6ª ed., 1803; e 7ª ed., 1812.
  • ROVINA, Edson. Tabela Price- verdades que incomodam. Disponível em <http://www.procon.sp.gov.br> capturado em 08/2007.
  • SILVA, André Luiz Carvalhal. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Ed. Atlas, 2005.
  • CAMPOS FILHO, Ademar et al. Declaração em defesa de uma Ciência Matemática e Financeira. Disponível no site do Sindicato dos Economistas do Estado de São Paulo, www.sindecon-esp.org.br/force_download.php?file=arq_sys/neodownload/defesa150704.pdf&name=defesa 150704.pdf. Acesso em 9/2006.
  • LEWIN, F. I. A.; Early, F.S.S, N. Book on Compound Interest, Richard Witt’s Arithmeticall Questions. JIA, 1970, p. 121-132.
  • MARX, Karl. O Capital: Crítica da Economia Política; O Processo Global de Produção Capitalista. Cap. XXIV, vol. V, l. III . São Paulo: Nova Cultural, p. 455-456.
  • FIGUEIREDO, Alcio Manoel de Sousa. Tabela Price & Capitalização de Juros. Editora: Juruá ,2004