Álgebra estrela

Em matemática, uma operação * (ou operação "estrela") sobre um anel * é uma operação sobre um anel que comporta-se similarmente a conjugação complexa sobre os números complexos. Uma operação * sobre uma álgebra * (ou álgebra estrela) é uma operação sobre uma álgebra sobre um anel * que comporta-se similarmente a tomar adjuntos em $GL_{n}(\mathbb {C} )$.

Anel *

Em matemática, um anel * é um anel associativo juntamente com uma operação * : A → A que é um anti-homomorfismo e uma involução.

De forma mais precisa, exige-se que * satisfaça as seguintes propriedades, para quaisquer x e y em A:

• $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$
• $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
• $1^{*}=1$
• $(x^{*})^{*}=x$

Iste tipo de anel também é chamado de anel involutivo e anel com involução. Note que o terceiro axioma é, na verdade, redundante, pois o segundo e o quarto axioma implicam que $1^{*}$ também é uma identidade, e as identidades são únicas.

Os elementos que satisfazem a igualdade $x^{*}=x$ são chamados de autoadjuntos ou Hermitianos.

É possível definir uma forma sesquilinear sobre qualquer anel *.

Exemplos

• O exemplo mais conhecido de álgebra estrela é o corpo dos números complexos C em que a operação * é simplesmente a conjugação complexa.
• Outro exemplo é a álgebra de matrizes n×n sobre C em que a operação * é dada pela conjugação e transposição das matrizes.