Algoritmo de Wagner-Whitin

O algoritmo de Wagner-Whitin, criado por Harvey M. Wagner e Thomson M. Whitin em 1958, é uma técnica matemática complexa para o dimensionamento de lotes e que faz uma avaliação das várias formas possíveis de se efectuar uma encomenda de maneira a satisfazer as exigências em cada período do horizonte de planeamento (Dicionário, 2008).

Este algoritmo apenas se aplica a produtos com procura determinística discreta, utilizando a programação dinâmica para minimização dos custos associados à gestão dos stocks e para se obter as quantidades óptimas de encomenda (Gestão, 2008).

Existem duas propriedades que a solução óptima deste algoritmo tem de satisfazer (Gonçalves, 2000, p. 32):

1. Uma encomenda só chega quando o nível de stocks atinge o zero.
2. Existe um limite superior para o número de períodos para os quais uma encomenda durará.

O algoritmo de Wagner-Whitin, normalmente é utilizado como benchmark para avaliação de modelos alternativos, pois conduz a soluções óptimas. No entanto, é frequente que se adoptem modelos mais simples para a resolução deste tipo de problemas devido à sua complexidade (Gestão, 2008).

Formulação de Gonçalves

Para este algoritmo utilizam-se as seguintes variáveis:

• $C_{t,N+1}$ = custo do conjunto de encomendas desde o início do período $t$ até ao início do período $N+1$. $C_{i,i}=0$ e o início de um período corresponde ao fim do período anterior.

• $E_{t,k}$ = custo de uma encomenda que chega no período $t$ e que satisfaz a procura até ao início do período $k$.

Equação:

            $C_{t,N+1}=min\left\{E_{t,k}+C_{k,N+1}\right\}$    $t=N$, …, 2, 1;  $t<k\leq N+1$

O custo da solução óptima é dado por $C_{1,N+1}$. Este algoritmo tem início no último período N e repete-se até ao período 1 (Gonçalves, 2000, p. 33).

Para a segunda propriedade, que se justifica pelo facto de um aumento do número de períodos aumentar os custos de posse de tal maneira que é melhor fazer uma nova encomenda, utiliza-se a seguinte expressão (Gonçalves, 2000, p. 33, 38):

                       $D(t)H\geq A\Leftrightarrow D(t)\geq A/H$

Esta propriedade diz que, quando o custo de posse da quantidade $D(t)$ é maior que o custo de encomenda, $A$, então a solução óptima deverá ter uma encomenda que chegue no período $t$ (Gonçalves, 2000, p. 38).

Formulação de Tersine

Tersine utiliza uma nomenclatura diferente da de Gonçalves (Tersine, 1988, p. 165):

• $C$ = custo de uma encomenda

• $h$ = fracção do custo de posse por período

• $P$ = custo unitário

• $Q_{ce}$ = $\sum _{k=c}^{e}R_{k}$

• $R_{k}$ = procura no período $k$

Segundo Tersine (1988, p. 165) este algoritmo resolve-se em três etapas:

1. Para todas as alternativas possíveis de encomendas, para um horizonte de tempo de $N$ períodos, calcular a matriz dos custos variáveis totais. Definir $Z_{ce}$ como o custo variável total nos períodos $c$ a $e$, de fazer uma encomenda no período $c$ que satisfaz as necessidades dos períodos $c$ a $e$

      $Z_{ce}=C+hP\sum _{i=c}^{e}Q_{ce}-Q_{ci}$   $1\leq c\leq e\leq N$

2. Definir $f_{e}$ como o mínimo custo possível nos períodos 1 a $e$. O algoritmo começa com $f_{0}=0$ e calcula $f_{1},f_{2},$…, $f_{N}$por esta ordem. O valor de $f_{e}$ é calculado usando a fórmula:

      $f_{e}=min\left(Z_{ce}+f_{c-1}\right)$          $c$ = 1, 2, …, $e$

3. De maneira a traduzir a solução óptima $f_{N}$, obtida pelo algoritmo, em quantidades a encomendar, aplicar o seguinte:

• A encomenda final ocorre no período $w$ e é suficiente para satisfazer a procura nos períodos $w$ a $N$.

      $f_{N}=Z_{wN}+f_{w-1}$

• A penúltima encomenda ocorre no período $v$ e é suficiente para satisfazer a procura nos períodos $v$ a $w$.

      $f_{w-1}=Z_{vw-1}+f_{v-1}$

• A primeira encomenda ocorre no período 1 e é suficiente para satisfazer a procura nos períodos 1 até ${u-1}$.

      $f_{u-1}=Z_{1u-1}+f_{0}$

Exemplo da aplicação deste algoritmo (Tersine, 1988, p. 166):

Um artigo tem um custo unitário de 50 UM, custo de encomenda de 100 UM e uma fracção do custo de posse por período de 0,02. Suponha-se que o nível das existências, no início do período 1, é zero e as procuras são as seguintes:

Período	1	2	3	4	5	6
Procura	75	0	33	28	0	10

A matriz dos custos variáveis totais é calculada da seguinte maneira:

$Z_{11}$ = 100 + 1(75 – 75) = 100

$Z_{12}$ = 100 + 1[(75 – 75) + (75 – 75)] = 100

$Z_{13}$ = 100 + 1[(108 – 75) + (108 – 75) + (108 – 108)] = 166

$Z_{14}$ = 100 + 1[(136 – 75) + (136 – 75) + (136 – 108) + (136 – 136)] = 250

$Z_{15}$ = 100 + 1[(136 – 75) + (136 – 75) + (136 – 108) + (136 – 136) + (136 – 136)] = 250

$Z_{16}$ = 100 + 1[(146 – 75) + (146 – 75) + (146 – 108) + (146 – 136) + (146 – 136) + (146 – 146)] = 300

$Z_{22}$ = 100 + 1(0 – 0) = 100

$Z_{23}$ = 100 + 1[(33 – 0) + (33 – 33)] = 133

$Z_{24}$ = 100 + 1[(61 – 0) + (61 – 33) + (61 – 61)] = 189

$Z_{25}$ = 100 + 1[(61 – 0) + (61 – 33) + (61 – 61) + (61 – 61)] = 189

$Z_{26}$ = 100 + 1[(71 – 0) + (71 – 33) + (71 – 61) + (71 – 61) + (71 – 71)] = 229

$Z_{33}$ = 100 + 1(33 – 33) = 100

$Z_{34}$ = 100 + 1[(61 – 33) + (61 – 61)] = 128

$Z_{35}$ = 100 + 1[(61 – 33) + (61 – 61) + (61 – 61)] = 128

$Z_{36}$ = 100 + 1[(71 – 33) + (71 – 61) + (71 – 61) + (71 – 71)] = 158

$Z_{44}$ = 100 + 1(28 – 28) = 100

$Z_{45}$ = 100 + 1[(28 – 28) + (28 – 28)] = 100

$Z_{46}$ = 100 + 1[(38 – 28) + (38 – 628) + (38 – 38)] = 120

$Z_{55}$ = 100 + 1(0 – 0) = 100

$Z_{56}$ = 100 + 1[(10 – 0) + (10 – 10)] = 110

$Z_{66}$ = 100 + 1(10 – 10) = 100

Matriz dos custos variáveis totais

O mínimo custo possível nos períodos 1 a $e$ é determinado da seguinte maneira (Tersine, 1988, p. 167):

$f_{0}=0$

$f_{1}=min\left(Z_{11}+f_{0}\right)$ = (100 + 0) = 100

$f_{2}=min\left(Z_{12}+f_{0},Z_{22}+f_{1}\right)=min\left(100+0,100+100\right)$ = 100

$f_{3}=min\left(Z_{13}+f_{0},Z_{23}+f_{1},Z_{33}+f_{2}\right)=min\left(166+0,133+100,100+100\right)$ = 166

$f_{4}=min\left(Z_{14}+f_{0},Z_{24}+f_{1},Z_{34}+f_{2},Z_{44}+f_{3}\right)=min\left(250+0,189+100,128+100,100+166\right)$ = 228

$f_{5}=min\left(Z_{15}+f_{0},Z_{25}+f_{1},Z_{35}+f_{2},Z_{45}+f_{3},Z_{55}+f_{4}\right)=min\left(250+0,189+100,128+100,100+166,100+228\right)$ = 228

$f_{6}=min\left(Z_{16}+f_{0},Z_{26}+f_{1},Z_{36}+f_{2},Z_{46}+f_{3},Z_{56}+f_{4},Z_{66}+f_{5}\right)=min\left(300+0,229+100,158+100,120+166,110+228,100+228\right)$ = 258

Alternativas dos custos variáveis totais

Neste exemplo, $f_{6}=f_{N}$ é a combinação de $Z_{36}$ e $f_{2}$, deste modo a última encomenda é efectuada no período 3 e vai satisfazer as necessidades dos períodos 3 a 6; $f_{2}$ é a combinação de $Z_{12}$ e $f_{0}$, deste modo a encomenda é feita no período 1 e vai satisfazer as necessidades dos períodos 1 a 2. A programação óptima das encomendas e os custos variáveis cumulativos são os seguintes (Tersine, 1988, p. 168):

Referências

• Dicionário de logística GS1 Brasil [Em linha]. [S.l.]: GS1 Brasil, 2008 [Consult. 14 Maio 2008]. Disponível em WWW: <URL:http://www.gs1brasil.org.br/lumis/portal/file/fileDownload.jsp?fileId=480F89A81371A66C01137233CA831C57^{[ligação inativa]}>

• Gestão de aprovisionamentos [Em linha]. [S.l.: s.n.], 2008. [Consult. 5 Maio 2008]. Algoritmo de Wagner-Whitin. Disponível em WWW:<URL:https://web.archive.org/web/20071229111849/http://gestor.no.sapo.pt/5sem/ga/gestao_de_aprovisionamento_teoria.htm>

• GONÇALVES, José Fernando – Gestão de aprovisionamentos. Ed. rev. Porto: Publindústria, 2000. ISBN 978-972-95794-9-3

• TERSINE, Richard J. – Principles of inventory and materials management. 3ª ed. New York: Elsevier Science Publishing, 1988. ISBN 978-0-444-01162-6

Ver também

• Administração de estoques
• Algoritmo
• EOQ
• Gestão de stocks
• Heurística de Silver-Meal
• Modelo lote-a-lote

Bibliografia

• BRAMEL, Julien; SIMCHI-LEVI, David – The Logic of Logistics. New York: Springer-Verlag, 1997. ISBN 978-0-387-94921-5

• GREEN, James H. - Production & Inventory Control Handbook [Em linha]. 3ª ed. USA: McGraw-Hill, 1997. [Consult. 3 Jun. 2008]. Disponível em WWW:<URL: http://www.google.pt/books?id=YVW02D29n_8C&printsec=frontcover&hl=en&source=gbs_summary_r&cad=0 ISBN 978-0-07-024428-3

• ORLICKY, Joseph; PLOSSL George W. - Orlicky's Material Requirements Planning [Em linha]. 2ª ed. New York: McGraw-Hill, 1994. [Consult. 6 Jun. 2008]. Disponível em WWW:<URL: http://books.google.com/books?id=AUZ-cbdNegkC&printsec=frontcover&hl=pt-BR&source=gbs_summary_r&cad=0 ISBN 978-0-07-050459-2

Ligações externas

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