Algoritmo de Wagner-Whitin

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O algoritmo de Wagner-Whitin, criado por Harvey M. Wagner e Thomson M. Whitin em 1958, é uma técnica matemática complexa para o dimensionamento de lotes e que faz uma avaliação das várias formas possíveis de se efectuar uma encomenda de maneira a satisfazer as exigências em cada período do horizonte de planeamento (Dicionário, 2008).

Este algoritmo apenas se aplica a produtos com procura determinística discreta, utilizando a programação dinâmica para minimização dos custos associados à gestão dos stocks e para se obter as quantidades óptimas de encomenda (Gestão, 2008).

Existem duas propriedades que a solução óptima deste algoritmo tem de satisfazer (Gonçalves, 2000, p. 32):

  1. Uma encomenda só chega quando o nível de stocks atinge o zero.
  2. Existe um limite superior para o número de períodos para os quais uma encomenda durará.

O algoritmo de Wagner-Whitin, normalmente é utilizado como benchmark para avaliação de modelos alternativos, pois conduz a soluções óptimas. No entanto, é frequente que se adoptem modelos mais simples para a resolução deste tipo de problemas devido à sua complexidade (Gestão, 2008).

Formulação de Gonçalves[editar | editar código-fonte]

Para este algoritmo utilizam-se as seguintes variáveis:

  • = custo do conjunto de encomendas desde o início do período até ao início do período . e o início de um período corresponde ao fim do período anterior.
  • = custo de uma encomenda que chega no período e que satisfaz a procura até ao início do período .

Equação:

                , …, 2, 1;  

O custo da solução óptima é dado por . Este algoritmo tem início no último período N e repete-se até ao período 1 (Gonçalves, 2000, p. 33).

Para a segunda propriedade, que se justifica pelo facto de um aumento do número de períodos aumentar os custos de posse de tal maneira que é melhor fazer uma nova encomenda, utiliza-se a seguinte expressão (Gonçalves, 2000, p. 33, 38):

                       

Esta propriedade diz que, quando o custo de posse da quantidade é maior que o custo de encomenda, , então a solução óptima deverá ter uma encomenda que chegue no período (Gonçalves, 2000, p. 38).

Formulação de Tersine[editar | editar código-fonte]

Tersine utiliza uma nomenclatura diferente da de Gonçalves (Tersine, 1988, p. 165):

  • = custo de uma encomenda
  • = fracção do custo de posse por período
  • = custo unitário
  • =
  • = procura no período

Segundo Tersine (1988, p. 165) este algoritmo resolve-se em três etapas:

1. Para todas as alternativas possíveis de encomendas, para um horizonte de tempo de períodos, calcular a matriz dos custos variáveis totais. Definir como o custo variável total nos períodos a , de fazer uma encomenda no período que satisfaz as necessidades dos períodos a

         

2. Definir como o mínimo custo possível nos períodos 1 a . O algoritmo começa com e calcula …, por esta ordem. O valor de é calculado usando a fórmula:

                 = 1, 2, …, 

3. De maneira a traduzir a solução óptima , obtida pelo algoritmo, em quantidades a encomendar, aplicar o seguinte:

  • A encomenda final ocorre no período e é suficiente para satisfazer a procura nos períodos a .
      
  • A penúltima encomenda ocorre no período e é suficiente para satisfazer a procura nos períodos a .
      
  • A primeira encomenda ocorre no período 1 e é suficiente para satisfazer a procura nos períodos 1 até .
      

Exemplo da aplicação deste algoritmo (Tersine, 1988, p. 166):

Um artigo tem um custo unitário de 50 UM, custo de encomenda de 100 UM e uma fracção do custo de posse por período de 0,02. Suponha-se que o nível das existências, no início do período 1, é zero e as procuras são as seguintes:

Período 1 2 3 4 5 6
Procura 75 0 33 28 0 10

A matriz dos custos variáveis totais é calculada da seguinte maneira:

= 100 + 1(75 – 75) = 100

= 100 + 1[(75 – 75) + (75 – 75)] = 100

= 100 + 1[(108 – 75) + (108 – 75) + (108 – 108)] = 166

= 100 + 1[(136 – 75) + (136 – 75) + (136 – 108) + (136 – 136)] = 250

= 100 + 1[(136 – 75) + (136 – 75) + (136 – 108) + (136 – 136) + (136 – 136)] = 250

= 100 + 1[(146 – 75) + (146 – 75) + (146 – 108) + (146 – 136) + (146 – 136) + (146 – 146)] = 300

= 100 + 1(0 – 0) = 100

= 100 + 1[(33 – 0) + (33 – 33)] = 133

= 100 + 1[(61 – 0) + (61 – 33) + (61 – 61)] = 189

= 100 + 1[(61 – 0) + (61 – 33) + (61 – 61) + (61 – 61)] = 189

= 100 + 1[(71 – 0) + (71 – 33) + (71 – 61) + (71 – 61) + (71 – 71)] = 229

= 100 + 1(33 – 33) = 100

= 100 + 1[(61 – 33) + (61 – 61)] = 128

= 100 + 1[(61 – 33) + (61 – 61) + (61 – 61)] = 128

= 100 + 1[(71 – 33) + (71 – 61) + (71 – 61) + (71 – 71)] = 158

= 100 + 1(28 – 28) = 100

= 100 + 1[(28 – 28) + (28 – 28)] = 100

= 100 + 1[(38 – 28) + (38 – 628) + (38 – 38)] = 120

= 100 + 1(0 – 0) = 100

= 100 + 1[(10 – 0) + (10 – 10)] = 110

= 100 + 1(10 – 10) = 100

Matriz dos custos variáveis totais

O mínimo custo possível nos períodos 1 a é determinado da seguinte maneira (Tersine, 1988, p. 167):

= (100 + 0) = 100

= 100

= 166

= 228

= 228

= 258

Alternativas dos custos variáveis totais

Neste exemplo, é a combinação de e , deste modo a última encomenda é efectuada no período 3 e vai satisfazer as necessidades dos períodos 3 a 6; é a combinação de e , deste modo a encomenda é feita no período 1 e vai satisfazer as necessidades dos períodos 1 a 2. A programação óptima das encomendas e os custos variáveis cumulativos são os seguintes (Tersine, 1988, p. 168):

Wagner-Whitin4.jpg

Referências[editar | editar código-fonte]

  • GONÇALVES, José Fernando – Gestão de aprovisionamentos. Ed. rev. Porto: Publindústria, 2000. ISBN 978-972-95794-9-3
  • TERSINE, Richard J. – Principles of inventory and materials management. 3ª ed. New York: Elsevier Science Publishing, 1988. ISBN 978-0-444-01162-6

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • BRAMEL, Julien; SIMCHI-LEVI, David – The Logic of Logistics. New York: Springer-Verlag, 1997. ISBN 978-0-387-94921-5

Ligações externas[editar | editar código-fonte]