Base de Schauder

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Definição: Seja um espaço de Banach. Uma sequência em é chamada de base de Schauder quando cada pode ser representado de forma única, como:


onde ou , para todo .

Exemplos:[editar | editar código-fonte]

Consideremos os espaços de sequência e , para . Seja a sequência contida em e , para , tal que para cada onde e se . A sequência é uma base de Shauder para os espaços e , para .[1]

Separabilidade:[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço de Banach. Se possui uma base de Schauder então é separável.

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço de Banach. Considere uma base de Schauder de tal que e considere



Seja , então para todo , existe tal que


desde que e é denso em , existe , tal que



Assim, temos que



Logo, é separável.

Consequências:[editar | editar código-fonte]

  • Toda base de Schauder de um espaço normado é linearmente independente
  • Teorema de Mazur: Seja X um espaço de Banach com dimensão infinita. Então existe um subespaço fechado de dimensão infinita de X com base de Schauder.

Referencias[editar | editar código-fonte]

  • de Oliveira, César (2008), Introdução à Análise Funcional, ISBN 978-85-244-0453-5, IMPA .
  • Kreyszig, Erwin (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 978-0471504597, Wiley .
  • Botelho, Geraldo; Pellegrino, Daniel; Teixeira, Eduardo (2015), Fundamentos de Análise Funcional, ISBN 9788583370680, Textos Universitários, SBM .
  1. Júnior, Nelson (2008). Bases de Schauder em Espaços de Banach. Rio de Janeiro: Dissertação de Mestrado (UFRJ). 24 páginas