Cardinais regulares e singulares

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Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular[1] .

Definições e exemplos[editar | editar código-fonte]

Se abreviarmos cofinalidade de como , podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que é regular se e singular se , pois vale para todo ordinal[2] . De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal é singular se resulta da união de uma quantidade menor que de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que :

[3]

Por exemplo, é singular pois:

[4]

ou seja, é a união de conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que .

Por outro lado, é regular, pois [5] . Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito[6] .

Cardinais regulares e o axioma da escolha[editar | editar código-fonte]

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável[7] e portanto é regular. Sem o axioma da escolha, [8] (que implica que é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente.

Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma (denominado cardinal sucessor) é regular[9] . Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em temos que ou é um ordinal limite[10] . Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de [11] , se ZFC é consistente[12] .

Referências

  1. Levy [2002] , p. 132.
  2. Ibid.
  3. Jech [2006] , p. 32.
  4. Hrbacek Jech [1999] , p. 161.
  5. Kunen [1980] , p. 33.
  6. Hrbacek Jech [1999] , p. 72.
  7. Jech [1973] , p. 48−49.
  8. Kunen [1980] , p. 33.
  9. Levy [2002] , p. 135.
  10. Levy [2002] , p. 90.
  11. Denominados fracamente inacessíveis
  12. Kunen [1980] , p. 34.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Hrbacek, Karen; Jech, Thomas (1999). Introduction to set theory (em inglês) 3a. ed. (New York: Marcel Dekker). 
  • Jech, Thomas (1999). «About the Axiom of Choice». In: Barwise, Jon. Handbook of mathematical logic (em inglês) (Amsterdam: Elsevier). p. 345−370. 
  • Jech, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. (Berlin: Springer). ISBN 3-540-44085-2. 
  • Kunen, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês) (Amsterdam: Elsevier). ISBN 0-444-86839-9. 
  • Levy, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês) (Mineola, New York: Dover).