Cofinalidade

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em teoria dos conjuntos, a cofinalidade de um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), cf(A), é o menor dos cardinais dos conjuntos parcialmente ordenados cofinais com (A, ≤) [1] . Dado um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), diz-se que um subconjunto B de A, BA, é cofinal com A (com a ordem anterior restrita a B) se para cada aA existe um bB tal que ab[2] . O conceito de cofinalidade foi introduzido por Felix Hausdorff em 1908[3] .

Cofinalidade de ordinais[editar | editar código-fonte]

Seja um ordinal limite. Uma sequência crescente , com ordinal limite é dita cofinal com se [4] .

De maneira similar, a cofinalidade pode ser definida para um ordinal limite como um ordinal limite :

[5] .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números naturais, é cofinal com o conjunto dos números reais, , com a ordem usual desses conjuntos, pois para cada número real , existe um número natural , tal que . Da mesma maneira, o conjunto dos números racionais, , também é cofinal com e todos esses conjuntos tem cofinalidade .

O ordinal tem cofinalidade , cf()=, pois segundo a definição geral, é cofinal com e . Considerando a cofinalidade de ordinais, existe a

De maneira análoga, , pois

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A cofinalidade tem as seguintes propriedades:

[6]
[7]
[8]

Deste último obtemos:

[9]

Referências

  1. Jech [2006] , p. 461.
  2. Ibid.
  3. Hausdorff [1908] , p. 440.
  4. Jech [2006] , p. 31.
  5. Jech [2006] , p. 31.
  6. Ibid.
  7. Kunen (1980), p. 33.
  8. Jech (2006), p. 33.
  9. KUNEN (1980), p. 34.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • JECH, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. (Berlin: Springer). ISBN 3-540-44085-2. 
  • KUNEN, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês) (Amsterdam: Elsevier). ISBN 0-444-86839-9.