Conjetura de Euler

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A conjectura de Euler é dada pela igualdade:

,

cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, quem primeiro a propôs em 1769. Euler propôs que para todo inteiro k maior que 1, a soma de k potências n dos números inteiros positivos não pode ser igual ao número inteiro positivo . É uma fórmula matemática que mostra bastante semelhança com o Último Teorema de Fermat.

A conjectura foi falseada por L. J. Lander e T. R. Parkin em 1966, quando encontraram o seguinte contra-exemplo para k = 5:

.

Em 1986, Noam Elkies, da Universidade de Harvard, encontrou um método para construir contra-exemplos para o caso de k = 4 (). Seu contra-exemplo foi:

.

Em 1988, Roger Frye encontrou o menor contra-exemplo possível para k = 4 usando técnicas computacionais sugeridas por Noam Elkies:

. Visto que 275+845+1105+1355 =1445 é uma igualdade verdadeira usando k, vem: (k.27)5+(k.84)5+(k.110)5+(k.135)5 = (k.144)5 é também verdadeira! pois a afirmação: Se  a igualdade: x1n+ x2n +x3n + ... + xin+... + xmn  = y1n + y2n+ y3n+ ... +  (yi)n+... + ypn for verdadeira, também será verdadeira a igualdade: (kx1)n+( kx2) n +( kx3) n+...+( kxi)n+... + (xm)n  =(k y1)n + (ky2)n+ (ky3)n+ ... +  (kyi)n+... +( kyp)n Prova-se essa verdade pelo método direto. Essa Relação também se aplica a conjectura de Euler para n = 4: x4+ y4 + z4 = w4   uma vez que 2.682.4404 +15.365.6394 + 18.796.7604 =(20.615.673)4 é uma igualdade verdadeira, conforme visto acima, e portanto uma solução para a conjectura de Euler, pela relação dada acima: (k2.682.440)4 +(k15.365.639)4 + (k18.796.760)4 =(k20.615.673)4 fornece outras infinitas soluções para a conjectura de Euler. Dito de outra forma, a pergunta sobre se há infinitas soluções sobre a conjectura de Euler foi respondida.

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