Derivação de algumas transformadas de Hilbert

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Apresenta-se aqui a derivação das transformadas de Hilbert listadas na Tabela 1 do verbete principal. Essas derivações ilustram técnicas diversas para efetuar a transformação.

Constante[editar | editar código-fonte]

A partir da definição[editar | editar código-fonte]

Neste caso, parte-se da expressão (2) de definição da transformada e calcula-se diretamente:







Com troca de variáveis[editar | editar código-fonte]

Neste caso, parte-se da expressão (4) e a tarefa é trivial:



Exponencial complexa[editar | editar código-fonte]

Expoente ix[editar | editar código-fonte]

Neste caso, parte-se da expressão (4) e calcula-se diretamente:






Expoente ix[editar | editar código-fonte]

Neste caso, pode-se usar a propriedade da dilatação do eixo, com a = -1:



Funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

Seno[editar | editar código-fonte]

Neste caso, parte-se das transformadas das exponenciais complexas, aplicando-se a propriedade da linearidade:




Cosseno[editar | editar código-fonte]

Pode-se derivar da mesma forma:




Pode-se também derivar aplicando-se a transformação inversa:



Também pode-se aplicar a propriedade da comutatividade com a diferenciação:



cas[editar | editar código-fonte]

A derivação é imediata, a partir da definição e da paridade das funções envolvidas:


Funções impulsivas[editar | editar código-fonte]

Impulso unitário[editar | editar código-fonte]

Neste caso, deve-se partir da expressão (1) de definição da transformada e calcular diretamente:



Uma das propriedades fundamentais da função impulso unitário é que



Assim,



Função recíproca[editar | editar código-fonte]

Pela propriedade da transformada inversa, o resultado acima nos dá diretamente



A propriedade do deslocamento do eixo nos dá


Impulsos de ordem superior[editar | editar código-fonte]

As transformadas das funções impulsivas de ordem superior podem ser calculadas a partir da propriedade da comutatividade com a diferenciação:



Funções racionais[editar | editar código-fonte]

Denominador quadrático x2 + 1[editar | editar código-fonte]

Nesse caso, pode-se aplicar a técnica das frações parciais:



Podemos escrever



Usando a relação com a transformada de Fourier:




De forma similar, teremos




Assim,



Esse resultado também nos permite escrever



Denominador quadrático (x2 + 1)2[editar | editar código-fonte]

Usando também aqui a relação com a transformada de Fourier, seja



A transformada de Fourier será



O que nos permite escrever


Sinais importantes em aplicações práticas[editar | editar código-fonte]

Função retangular[editar | editar código-fonte]

Neste caso, parte-se da expressão de definição (5):



Como a função é nula para |x - u| > ½, e 1 para |x - u| < ½, podemos escrever:



Para x > ½, o intervalo de integração não possui nenhuma singularidade, e pode-se integrar diretamente:



Para 0 < x < ½, o intervalo de integração possui uma singularidade em u = 0. É preciso dividir a integral em duas de forma a contornar esse ponto.




Para x < 0, aplica-se a propriedade da dilatação do eixo:



Assim, a expressão de û(x) é a mesma para todos os valores de x.

Função seno cardinal[editar | editar código-fonte]

Neste caso, calcula-se primeiro a transformada Fourier de f(x) e obtém-se o espectro de frequências de û(t):



De acordo com a tabela de transformadas de Fourier,



Aplica-se então a transformada inversa de Fourier para encontrar û(t)






Da propriedade da dilatação do eixo, segue-se imediatamente que a transformada da variante não normalizada da funçâo sinc(x) é