Duplo Pêndulo
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Em Física e Matemática, na área de sistemas dinâmicos, um duplo pêndulo é um sistema com dois pêndulos sendo um deles anexo no extremo do outro. Este é um sistema físico simples que apresentam um complexo comportamento dinâmico com alta sensibilidade em torno das condições iniciais. O movimento do pêndulo duplo é regido por um conjunto fechado de equações diferenciais ordinárias. Para sistemas com energia específica, seu comportamento é caótico.
Análise e Interpretação
[editar | editar código-fonte]Diversas variáveis do pêndulo duplo podem ser consideradas; os dois corpos podem ter comprimento e massa iguais ou desiguais. Podem ser pêndulo simples ou composto (também conhecido como pêndulo complexo) e o movimento pode ser em três dimensões ou restrito ao plano vertical. Na análise seguinte, consideramos as partes do pêndulo composto com a mesma massa e o mesmo comprimento , e o movimento é restrito em duas dimensões:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Double-compound-pendulum-dimensioned.svg/220px-Double-compound-pendulum-dimensioned.svg.png)
Em um pêndulo duplo, a massa é distribuída ao longo do comprimento do corpo. Se a massa é uniformemente distribuída, então, o centro de massa de cada corpo está localizado no ponto médio do mesmo e o seu momento de inércia é em torno do centro de massa.
Convenientemente usamos ângulos entre o corpo e a vertical como coordenadas generalizadas para definição da configuração do sistema. Estes ângulos são chamados θ1 e θ2. A posição do centro de massa de cada barra pode ser escrita em termos dessas duas coordenadas. Se a origem do sistema de coordenadas Cartesianas considerado é o ponto de suspensão do primeiro pêndulo, então, o centro de massa desse pêndulo é:
e o centro de massa do segundo pêndulo é:
Com isso, escrevemos o Lagrangiano:
Lagrangiano
[editar | editar código-fonte]O Lagrangiano é:
O primeiro termo é a energia cinética linear do centro de massa dos corpos e o segundo termo é a energia cinética rotacional em torno do centro de massa de cada braço. O último termo é a energia potencial dos corpos em um campo gravitacional uniforme. A notação de Newton indica a derivada temporal da variável em questão.
Substituindo as coordenadas abaixo e reorganizando os termos:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/45/Double-compound-pendulum.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/DPLE.jpg/220px-DPLE.jpg)
Há somente uma quantidade conservada (energia), e não conservado o momento. Os dois momentos podem ser escritos como:
e
Estas expressões podem ser invertidas para obtermos:
e
As equações restantes de movimento são escritas como:
e
A última das quatro equações são fórmulas explícitas para a evolução temporal do sistema no seu estado atual. Não é possível ir mais longe e integrar estas equações analiticamente, para obter fórmulas para θ1 e θ2 como função do tempo. No entanto, é possível realizar essa integração numericamente usando o método Runge Kutta ou técnicas similares.
Movimento caótico
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Double_pendulum_flips_graph.png/220px-Double_pendulum_flips_graph.png)
O pêndulo duplo sofre movimento caótico e mostra uma sensível dependência das condições iniciais. A imagem a direita mostra quanto tempo levou para o pêndulo virar, em função das condições iniciais. Aqui, o valor inicial para θ1 varia de −3 a 3 ao longo do eixo x. Já o valor inicial para θ2 varia de −3 a 3 ao longo do eixo y. (Presumidamente, esta exposição está descrevendo uma versão estacionária com termo cinético igual a zero.) A cor de cada pixel indica a variação do pêndulo com (verde), within (vermelho), (roxo) ou (azul). Condições iniciais, que não levam a virar, são plotados em branco.
A fronteira da região branca central é definida em parte pela conservação de energia com a seguinte curva:
Dentro da região definida por esta curva, temos:
Logo, do ponto de vista energético, é impossível o pêndulo virar. Fora desta região, o pêndulo pode virar, mas quando ele vai virar torne-se uma questão complexa para determinar. Comportamento semelhante é observado para um pêndulo duplo composto por duas massas pontuais, em vez de duas hastes com massa distribuída.
A falta de uma frequência de excitação natural, levou-se à utilização de sistemas de pêndulo duplo em modelos de resistência sísmica dos edifícios, onde o próprio edifício é o pêndulo primário invertido e uma massa secundária é ligada ao edifício para completar o pêndulo duplo.
Referências
- Meirovitch, Leonard (1986). Elements of Vibration Analysis 2nd edition ed. [S.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-041342-8
- Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contém detalhes das complicadas equações envolvidas) e "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animações das equações).
- Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (simulações em aplicativo java)
- Northwestern University, Double Pendulum, (simulações em aplicativo java.)
- Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).