Equivalência lógica

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Na lógica, afirmações e são logicamente equivalentes se tiverem o mesmo conteúdo lógico. Isto é, se elas tiverem o mesmo valor de verdade em todos os modelos.[1] A equivalência lógica de e às vezes é expressa como , , ou . No entanto, esses símbolos também são usados para equivalência material. A interpretação adequada depende do contexto. A equivalência lógica é diferente da equivalência material, embora os dois conceitos estejam intimamente relacionados.

Equivalências lógicas[editar | editar código-fonte]

Equivalência Nome

Identidade

Dominação

Idempotência
Dupla negação

Comutatividade

Associatividade

Propriedade

distributiva


Leis de De Morgan

Absorção

Negação

Equivalências lógicas envolvendo afirmações condicionais:

Equivalências lógicas envolvendo bicondicionais:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

As afirmações a seguir são logicamente equivalentes:

  1. Se Lúcia está na Dinamarca, então ela está na Europa. (Em símbolos, .)
  2. Se Lúcia não está na Europa, então ela não está na Dinamarca. (Em símbolos, .)

Sintaticamente, (1) e (2) são deriváveis uns dos outros através das regras de contraposição e dupla negação. Semanticamente, (1) e (2) são verdadeiros exatamente nos mesmos modelos (interpretações, avaliações); ou seja, aqueles em que Lúcia está na Dinamarca é falsa ou Lúcia está na Europa é verdade.

(Observe que, neste exemplo, é assumida a lógica clássica. Algumas lógicas não clássicas não consideram (1) e (2) logicamente equivalentes.)

Relação com equivalência material[editar | editar código-fonte]

A equivalência lógica é diferente da equivalência material. Fórmulas e são logicamente equivalentes se e somente se a declaração de sua equivalência material () é uma tautologia.[2]

A equivalência material de e (frequentemente escrita ) é em si uma outra afirmação na mesma linguagem de objeto como e . Esta afirmação expressa a ideia "' se e somente se '". Em particular, o valor de verdade de pode mudar de um modelo para outro.

A afirmação de que duas fórmulas são logicamente equivalentes é uma declaração na metalinguagem, expressando uma relação entre duas afirmações e . As afirmações são logicamente equivalentes se, em cada modelo, elas tiverem o mesmo valor de verdade.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Mendelson 1979:56
  2. Copi et at. 2014:348

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Irving M. Copi, Carl Cohen, e Kenneth McMahon, Introduction to Logic, 14ª edição, Pearson New International Edition, 2014.
  • Elliot Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, segunda edição, 1979.
  • Mortari, C. A. (2001). Introdução à lógica. São Paulo: UNESP. ISBN 8571393370 
  • R. Scheinerman, Edward (2003). Matemática Discreta. Uma Introdução. São Paulo: Cengage. ISBN 8522102910