Equivalência lógica

Na lógica, afirmações $p$ e $q$ são logicamente equivalentes se tiverem o mesmo conteúdo lógico. Isto é, se elas tiverem o mesmo valor de verdade em todos os modelos. A equivalência lógica de $p$ e $q$ às vezes é expressa como $p\equiv q$, ${\textsf {E}}pq$, ou $p\iff q$. No entanto, esses símbolos também são usados para equivalência material. A interpretação adequada depende do contexto. A equivalência lógica é diferente da equivalência material, embora os dois conceitos estejam intimamente relacionados.

Equivalências lógicas

Equivalência	Nome
$p\wedge \top \equiv p$ $p\vee \bot \equiv p$	Identidade
$p\vee \top \equiv \top$ $p\wedge \bot \equiv \bot$	Dominação
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	Idempotência
$\neg (\neg p)\equiv p$	Dupla negação
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	Comutatividade
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	Associatividade
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	Propriedade distributiva
$\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$	Leis de De Morgan
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	Absorção
$p\vee \neg p\equiv \top$ $p\wedge \neg p\equiv \bot$	Negação

Equivalências lógicas envolvendo afirmações condicionais:

1. $p\implies q\equiv \neg p\vee q$
2. $p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p$
3. $p\vee q\equiv \neg p\implies q$
4. $p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)$
5. $\neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q$
6. $(p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)$
7. $(p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)~~~$ (Dilema simples)
8. $(p\implies q)\vee (r\implies s)\equiv r\vee s~~~~~~$ (Dilema complexo)
9. $(p\implies r)\wedge (\neg p\implies r)\equiv r~~~~~~$ (Dilema especial)
10. $(p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r$
11. $(p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r$
12. $(p\implies q)\wedge (q\implies r)\equiv p\implies r~~~~$ (Silogismo hipotético)
13. $p\implies (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r~~~~$ (Importação)

Equivalências lógicas envolvendo bicondicionais:

1. $p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)$
2. $p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q$
3. $p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$
4. $\neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q$

Exemplo

As afirmações a seguir são logicamente equivalentes:

1. Se Lúcia está na Dinamarca, então ela está na Europa. (Em símbolos, $d\implies e$.)
2. Se Lúcia não está na Europa, então ela não está na Dinamarca. (Em símbolos, $\neg e\implies \neg d$.)

Sintaticamente, (1) e (2) são deriváveis uns dos outros através das regras de contraposição e dupla negação. Semanticamente, (1) e (2) são verdadeiros exatamente nos mesmos modelos (interpretações, avaliações); ou seja, aqueles em que Lúcia está na Dinamarca é falsa ou Lúcia está na Europa é verdade.

(Observe que, neste exemplo, é assumida a lógica clássica. Algumas lógicas não clássicas não consideram (1) e (2) logicamente equivalentes.)

Relação com equivalência material

A equivalência lógica é diferente da equivalência material. Fórmulas $p$ e $q$ são logicamente equivalentes se e somente se a declaração de sua equivalência material ($p\iff q$) é uma tautologia.

A equivalência material de $p$ e $q$ (frequentemente escrita $p\iff q$) é em si uma outra afirmação na mesma linguagem de objeto como $p$ e $q$. Esta afirmação expressa a ideia "'$p$ se e somente se $q$'". Em particular, o valor de verdade de $p\iff q$ pode mudar de um modelo para outro.

A afirmação de que duas fórmulas são logicamente equivalentes é uma declaração na metalinguagem, expressando uma relação entre duas afirmações $p$ e $q$. As afirmações são logicamente equivalentes se, em cada modelo, elas tiverem o mesmo valor de verdade.

Ver também

• Condições necessárias e suficientes
• Se e somente se
• Relação de equivalência

Referências

• Irving M. Copi, Carl Cohen, e Kenneth McMahon, Introduction to Logic, 14ª edição, Pearson New International Edition, 2014.
• Elliot Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, segunda edição, 1979.
• Mortari, C. A. (2001). Introdução à lógica. São Paulo: UNESP. ISBN 8571393370 
• R. Scheinerman, Edward (2003). Matemática Discreta. Uma Introdução. São Paulo: Cengage. ISBN 8522102910